Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 3 - m\) với \(m\) là tham số. Khi \(m = {m_0}\) thì

Câu hỏi số 621499:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 3 - m\) với \(m\) là tham số. Khi \(m = {m_0}\) thì đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ \(O\) làm trực tâm . Giá trị \({m_0}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 5; - 2} \right)\).

B. \(\left( { - 2;2} \right)\).

C. \(\left( {3;7} \right)\).

D. \(\left( {2;5} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621499

Phương pháp giải

Trực tâm của tam giác là giao của 3 đường cao của tam giác đó.

Giải chi tiết

\(y = {x^4} - 2\left( {m - 2} \right){x^2} + 3 - m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4\left( {m - 2} \right)x\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m - 2\end{array} \right.\).

Để hàm số có 3 cực trị thì \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\).

Khi đó: đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là

\(A\left( {0;3 - m} \right),B\left( { - \sqrt {m - 2} ; - {m^2} + 3m - 1} \right),C\left( {\sqrt {m - 2} ; - {m^2} + 3m - 1} \right)\).

NX: Gốc tọa độ O luôn nằm trên đường cao dựng từ A của tam giác ABC.

Để O là trực tâm tam giác ABC thì \(CO \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {AB} = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \left( {\sqrt {m - 2} ; - {m^2} + 3m - 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt {m - 2} ; - {m^2} + 4m - 4} \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt {m - 2} .\left( { - \sqrt {m - 2} } \right) + \left( { - {m^2} + 3m - 1} \right).\left( { - {m^2} + 4m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - \left( {m - 2} \right) - \left( { - {m^2} + 3m - 1} \right).{\left( {m - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - \left( {m - 2} \right)\left[ {1 + \left( { - {m^2} + 3m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow 1 + \left( { - {m^2} + 3m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\,\,\left( {do\,m > 2} \right)\).

\( \Leftrightarrow 1 - {m^3} + 2{m^2} + 3{m^2} - 6m - m + 2 = 0 \Leftrightarrow - {m^3} + 5{m^2} - 7m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\left( L \right)\\m = 3\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {m_0} = 3 \in \)\(\left( {2;5} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.