Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả số hạng đều dương và \(9\left( {{u_1} + {u_2}

Câu hỏi số 621504:

Vận dụng

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả số hạng đều dương và \(9\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{2050}}} \right) = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{3075}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \log _3^2{u_{14}} + \log _3^2{u_{41}} - \log _3^2{u_{122}}\) bằng

A. \( - 4\).

B. \( - 2\).

C. \(1\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621504

Phương pháp giải

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2} = {u_1}n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\).

Giải chi tiết

Ta có: \(9\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{2050}}} \right) = 4\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{3075}}} \right) \Leftrightarrow 9.\left( {2050{u_1} + \dfrac{{2050.2049}}{2}d} \right) = 4\left( {3075{u_1} + \dfrac{{3075.3074}}{2}d} \right)\)

\( \Leftrightarrow 18\,450{u_1} + 18\,902\,025d = 12\,300{u_1} + 18\,905\,100d \Leftrightarrow 6150{u_1} = 3075d \Leftrightarrow d = 2{u_1} > 0\).

Khi đó : \({u_{14}} = {u_1} + 13d = 27{u_1},\,{u_{41}} = {u_1} + 40d = 81{u_1},{u_{122}} = {u_1} + 121d = 243{u_1}\).

\(\begin{array}{l}P = \log _3^2{u_{14}} + \log _3^2{u_{41}} - \log _3^2{u_{122}} = \log _3^2\left( {27{u_1}} \right) + \log _3^2\left( {81{u_1}} \right) - \log _3^2\left( {243{u_1}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {t + 3} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} - {\left( {t + 5} \right)^2},\,\,\left( {t = {{\log }_3}{u_1}} \right)\\\,\,\,\,\, = {t^2} + 4t = {\left( {t + 2} \right)^2} - 4 \ge - 4.\end{array}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = - 4\,\,khi\,\,t = - 2.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.