Cho các số thực \(a,b,c\) thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log

Câu hỏi số 621503:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,b,c\) thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\). Giá trị của biểu thức \({\log _a}b + {\log _b}{c^2}\) bằng

A. \(2\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(3\).

D. \(1\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621503

Phương pháp giải

Biến đổi đưa về \({\log _a}b\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Với \(a,b,c > 1\), ta có: \(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\log _a^2b + {\log _b}c\left( {2.{{\log }_b}c - 1} \right) + 9{\log _a}c - 4{\log _a}b = 0\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b - 4{\log _a}b + 2\log _b^2c - {\log _b}c + 9{\log _a}c = 0\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b - 4{\log _a}b + 2\log _b^2c - {\log _b}c + 9{\log _a}b.{\log _b}c = 0\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = x,{\log _b}c = y\). Bài toán trở thành:

Cho \(4{x^2} - 4x + 2{y^2} - y + 9xy = 0\) (*). Tìm giá trị của biểu thức \(T = x + 2y\).

Ta có: \(T = x + 2y \Rightarrow x = T - 2y \Rightarrow \)\(4{\left( {T - 2y} \right)^2} - 4\left( {T - 2y} \right) + 2{y^2} - y + 9\left( {T - 2y} \right)y = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{T^2} - 16Ty + 16{y^2} - 4T + 8y + 2{y^2} - y + 9Ty - 18{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow y.\left( {7 - 7T} \right) + 4{T^2} - 4T = 0 \Leftrightarrow 7\left( {1 - T} \right)y = 4T\left( {1 - T} \right)\end{array}\)

Phương trình (*) luôn đúng với mọi x, y khi và chỉ khi \(T = 1\).

Vậy, với mọi số thực \(a,b,c\) thuộc khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \({\log _a}b + {\log _b}{c^2} = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.