Cho tứ diện đều \(SABC\) cạnh 2, có \(D\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(BD = 2AD,\,I\) là
Cho tứ diện đều \(SABC\) cạnh 2, có \(D\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(BD = 2AD,\,I\) là trung điểm của \(SD\). Một đường thẳng \(d\) thay đổi qua \(I\) cắt các cạnh \(SA,SB\) lần lượt tại \(M,N\). Khi \(d\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.MNC\) có giá trị nhỏ nhất bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
+) Lập tỉ số thể tích khối chóp \(S.MNC\) và khối tứ diện \(SABC\).
Từ đó đánh giá GTNN của thể tích khối chóp \(S.MNC\).
Dựng AF, BE song song đường thẳng d (như hình vẽ).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{SA}}{{SM}} = \dfrac{{SF}}{{SI}}\\y = \dfrac{{SB}}{{SN}} = \dfrac{{SE}}{{SI}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x = \dfrac{{SF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{{SE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{{DF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y - 1 = \dfrac{{DE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {1 - \dfrac{1}{2}x} \right) = \dfrac{1}{2}y - 1\)\( \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2}y = 3 \Leftrightarrow 2x + y = 6\).
Mà \(2x + y \ge 2\sqrt {2xy} \Rightarrow 6 \ge 2\sqrt {2xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{9}{2}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SM}}.\dfrac{{SB}}{{SN}} = xy \le \dfrac{9}{2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} \ge \dfrac{2}{9}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{9}.\dfrac{{{2^3}.\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(2x = y = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2},y = 3\).
Vậy khi \(d\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.MNC\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com