Cho tứ diện đều $SABC$ cạnh 2, có $D$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $BD = 2AD,\,I$ là

Câu hỏi số 621509:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều $SABC$ cạnh 2, có $D$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $BD = 2AD,\,I$ là trung điểm của $SD$ . Một đường thẳng $d$ thay đổi qua $I$ cắt các cạnh $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ . Khi $d$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.MNC$ có giá trị nhỏ nhất bằng

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$ .

$\dfrac{{4\sqrt 3 }}{{27}}$ .

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}$ .

$\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}$ .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621509

Phương pháp giải

+) Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$ .

+) Lập tỉ số thể tích khối chóp $S.MNC$ và khối tứ diện $SABC$ .

Từ đó đánh giá GTNN của thể tích khối chóp $S.MNC$ .

Giải chi tiết

Dựng AF, BE song song đường thẳng d (như hình vẽ).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{SA}}{{SM}} = \dfrac{{SF}}{{SI}}\\y = \dfrac{{SB}}{{SN}} = \dfrac{{SE}}{{SI}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x = \dfrac{{SF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{{SE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{{DF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y - 1 = \dfrac{{DE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {1 - \dfrac{1}{2}x} \right) = \dfrac{1}{2}y - 1$ $\Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2}y = 3 \Leftrightarrow 2x + y = 6$ .

Mà $2x + y \ge 2\sqrt {2xy} \Rightarrow 6 \ge 2\sqrt {2xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{9}{2}$

Ta có: $\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SM}}.\dfrac{{SB}}{{SN}} = xy \le \dfrac{9}{2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} \ge \dfrac{2}{9}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{9}.\dfrac{{{2^3}.\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $2x = y = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2},y = 3$ .

Vậy khi $d$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.MNC$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.