Cho tứ diện đều \(SABC\) cạnh 2, có \(D\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(BD = 2AD,\,I\) là

Câu hỏi số 621509:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều \(SABC\) cạnh 2, có \(D\) là điểm thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(BD = 2AD,\,I\) là trung điểm của \(SD\). Một đường thẳng \(d\) thay đổi qua \(I\) cắt các cạnh \(SA,SB\) lần lượt tại \(M,N\). Khi \(d\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.MNC\) có giá trị nhỏ nhất bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{{27}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621509

Phương pháp giải

+) Công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

+) Lập tỉ số thể tích khối chóp \(S.MNC\) và khối tứ diện \(SABC\).

Từ đó đánh giá GTNN của thể tích khối chóp \(S.MNC\).

Giải chi tiết

Dựng AF, BE song song đường thẳng d (như hình vẽ).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{SA}}{{SM}} = \dfrac{{SF}}{{SI}}\\y = \dfrac{{SB}}{{SN}} = \dfrac{{SE}}{{SI}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x = \dfrac{{SF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{{SE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \dfrac{1}{2}x = \dfrac{{DF}}{{SD}}\\\dfrac{1}{2}y - 1 = \dfrac{{DE}}{{SD}}\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {1 - \dfrac{1}{2}x} \right) = \dfrac{1}{2}y - 1\)\( \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2}y = 3 \Leftrightarrow 2x + y = 6\).

Mà \(2x + y \ge 2\sqrt {2xy} \Rightarrow 6 \ge 2\sqrt {2xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{9}{2}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SM}}.\dfrac{{SB}}{{SN}} = xy \le \dfrac{9}{2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} \ge \dfrac{2}{9}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{9}.\dfrac{{{2^3}.\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(2x = y = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2},y = 3\).

Vậy khi \(d\) thay đổi, thể tích khối chóp \(S.MNC\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{{27}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.