Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x

Câu hỏi số 621508:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x + 3} \right) + 2\) có đồ thị là một parabol \(\left( P \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {1;6} \right)\).

B. \(\left( {1;2} \right)\).

C. \(\left( {5;9} \right)\).

D. \(\left( { - \infty ;9} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621508

Phương pháp giải

Dựa vào đồ thị hàm số xác định phương trình hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Tìm hàm số \(f'\left( x \right)\). Xác định khoảng mà \(f'\left( x \right)\) mang dấu âm.

Giải chi tiết

\(y = g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là một parabol \(\left( P \right)\): có đỉnh \(I\left( {2; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {3;2} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = - 1\\ - \dfrac{b}{{2a}} = 2\\9a + 3b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2.\left( { - 4a} \right) + c = - 1\\b = - 4a\\9a + 3.\left( { - 4a} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + c = - 1\\b = - 4a\\ - 3a + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 4a\\c = 3a + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 12\\c = 11\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow y = g\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 11\).

\( \Rightarrow f'\left( {2x + 3} \right) + 2 = 3{x^2} - 12x + 11 \Leftrightarrow f'\left( {2x + 3} \right) = 3{x^2} - 12x + 9\).

Đặt \(t = 2x + 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\left( {t - 3} \right)\). Ta có:

\(f'\left( t \right) = 3{\left( {\dfrac{1}{2}\left( {t - 3} \right)} \right)^2} - 12.\dfrac{1}{2}\left( {t - 3} \right) + 9 = \dfrac{3}{4}\left( {{t^2} - 6t + 9} \right) - 6\left( {t - 3} \right) + 9 = \dfrac{3}{4}{t^2} - \dfrac{{21}}{2}t + \dfrac{{135}}{4} = \dfrac{3}{4}\left( {{t^2} - 14t + 45} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{3}{4}\left( {{x^2} - 14x + 45} \right),\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 9\end{array} \right.\).

\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 5 < x < 9\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {5;9} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.