Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.

Câu hỏi số 629755:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và đáy bằng ${45^ \circ }$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$. Khoảng cách giữa hai đường $AM$ và $SC$ bằng

A. $a$.

B. $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$.

C. $\dfrac{{a\sqrt 5 }}{{10}}$

D. $\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629755

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Giải chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $A B, I$ là trung điểm cạnh $A O$.

Suy ra $S H \perp(A B C D)$, $\left(\widehat{S A C),(A B C D)}=\widehat{S I H}=45^{\circ}\right.$.

Do đó $S H=I H=\dfrac{1}{2} B O=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}$.

Gọi $N$ là trung điểm cạnh $C D$, khi đó $H N \perp A B$.

Chọn hệ trục tọa độ trong không gian như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm

$H(0 ; 0 ; 0), A\left(0 ;-\dfrac{a}{2} ; 0\right) ; S\left(0 ; 0 ; \dfrac{a \sqrt{2}}{4}\right) ; D\left(a ;-\dfrac{a}{2} ; 0\right) ; M\left(\dfrac{a}{2} ;-\dfrac{a}{4} ; \dfrac{a \sqrt{2}}{8}\right) ; C\left(a ; \dfrac{a}{2} ; 0\right) .$

Nên $\overrightarrow{A M}=\left(\dfrac{a}{2} ; \dfrac{a}{4} ; \dfrac{a \sqrt{2}}{8}\right) ; \overrightarrow{S C}=\left(a ; \dfrac{a}{2} ;-\dfrac{a \sqrt{2}}{4}\right) ; \overrightarrow{A C}=(a ; a ; 0)$.

Khoảng cách giữa hai đường $A M$ và $S C$ là $d(A M, S C)=\dfrac{\| \overrightarrow{A M}, \overrightarrow{S C}\rfloor \cdot \overrightarrow{A C} \mid}{\| \overrightarrow{A M}, \overrightarrow{S C}] \mid}=\dfrac{a \sqrt{5}}{5}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.