Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a,SA$

Câu hỏi số 629759:

Vận dụng cao

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ bằng $\varphi $, với ${\rm{cos}}\varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

B. ${a^3}\sqrt 2 $.

C. $\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

D. $\dfrac{{2{a^3}}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629759

Phương pháp giải

Đặt AD = m. Gắn hệ trục toạ độ Oxyz. Từ ${\rm{cos}}\varphi = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ tìm m theo a. Từ đó tính thể tích hình chóp.

Giải chi tiết

Đặt $A D=m, m>0$.

Chọn hệ trục tọa độ $O x y z$ như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với $A$, tia $O x, O y, O z$ lần lượt trùng với các tia $A B, A D, \mathrm{AS}$. Khi đó tọa độ của các điểm là:

$B(a ; 0 ; 0) ; D(0 ; m ; 0) ; C(a ; m ; 0) ; S(0 ; 0 ; a)$

$\overrightarrow{S B}=(a ; 0 ;-a) ; \overrightarrow{B C}=(0 ; m ; 0) \Rightarrow[\overrightarrow{S B}, \overrightarrow{B C}]=(m a ; 0 ; m a)$

$\overrightarrow{S D}=(0 ; m ;-a) ; \overrightarrow{D C}=(a ; 0 ; 0) \Rightarrow[\overrightarrow{S D}, \overrightarrow{D C}]=(0 ;-a ;-m a)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(S B C)$ là $[\overrightarrow{S B}, \overrightarrow{B C}]=(m a ; 0 ; m a)$, của mặt phẳng $(S C D)$ là $[\overrightarrow{S D}, \overrightarrow{D C}]=\left(0 ;-a^2 ;-m a\right)$.

Theo giả thiết: $\cos \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \dfrac{m^2 a^2}{a \sqrt{a^2+m^2} \cdot m a \cdot \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 3 m^2=2\left(a^2+m^2\right) \Rightarrow m=a \sqrt{2}$.

Thể tích khối chóp $S \cdot A B C D$ bằng $V=\dfrac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot a \cdot a \cdot a \sqrt{2}=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.