Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f\left( x \right) + x = \int\limits_0^2

Câu hỏi số 633557:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f\left( x \right) + x = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]dx} \), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Xác định giá trị \(m\) để \(\int\limits_0^2 {\left[ {mx + f\left( x \right)} \right]dx} = 0\).

A. \(m = 0\).

B. \(m = - 2\).

C. \(m = - 1\).

D. \(m = - 3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633557

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tích phân: \(f\left( x \right) + x = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {xdx} \).

Đặt \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) (I là hằng số), biểu diễn f(x) theo I và x.

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, từ đó tìm được I và suy ra hàm f(x).

Thay hàm f(x) tìm được vào \(\int\limits_0^2 {\left[ {mx + f\left( x \right)} \right]dx} = 0\) tìm m.

Giải chi tiết

Theo đề ta có \(f\left( x \right) + x = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {xdx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - 2\).

Đặt \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) (I là hằng số)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + x = I - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = - x + I - 2\).

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( { - x + I - 2} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} + Ix - 2x} \right)} \right|_0^2\\ \Leftrightarrow I = - 2 + 2I - 4 \Leftrightarrow I = 6.\end{array}\)

\( \Rightarrow f(x) = - x + 4\), thử lại thấy thoả mãn \(f\left( x \right) + x = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]dx} \), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {\left[ {mx + f\left( x \right)} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {mx - x + 4} \right)dx} = 0\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {\dfrac{{m{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow 2m - 2 + 8 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\end{array}\)

Vậy m = -3.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.