Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {m - {x^2}} \right)\) có

Câu hỏi số 633556:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {m - {x^2}} \right)\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \((0;5)\), với \(f(x) = {x^6} - {x^4} + {x^2} + x\) ?

A. 46.

B. 47.

C. 48.

D. 49.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633556

Phương pháp giải

Xét \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {m - {x^2}} \right)\), tính h’(x).

Giải phương trình \(f'\left( {{x^2}} \right) = f'\left( {m - {x^2}} \right)\) bằng cách chứng minh hàm số f’(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Biện luận x theo m, từ đó tìm cực trị của hàm số và cho điểm cực trị thuộc (0;5) tìm m.

Giải chi tiết

Xét \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {m - {x^2}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right) - 2x \cdot f'\left( {m - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow h'\left( x \right) = 2x\left[ {f'\left( {{x^2}} \right) - f'\left( {m - {x^2}} \right)} \right]\end{array}\)

Giải \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 0}\\{f'\left( {{x^2}} \right) - f'\left( {m - {x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {{x^2}} \right) = f'\left( {m - {x^2}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}f(x) = {x^6} - {x^4} + {x^2} + x\\ \Rightarrow f'(x) = 6{x^5} - 4{x^3} + 2x + 1\\ \Rightarrow f''(x) = 30{x^4} - 12{x^2} + 2 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Suy ra hàm số \(f'\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \({x^2} = m - {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = m \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{m}{2}\)(3).

TH1: Nếu \(m < 0\) thì phương trình (3) vô nghiệm => (1) vô nghiệm.

=> \(h'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất là \(x = 0\).

=> \(x = 0\) là cực trị duy nhất của hàm số \(y = h(x)\).

Do \(x = 0 \notin (0;5)\) nên TH này không thoả mãn.

TH2: Nếu \(m = 0\) thì phương trình (3) có nghiệm kép \(x = 0\)

=> \(h'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất là \(x = 0\) (bội 3).

=> \(x = 0\) là cực trị duy nhất của hàm số \(y = h(x)\).

Do \(x = 0 \notin (0;5)\) nên TH này không thoả mãn.

TH3: Nếu \(m > 0\) thì phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - \sqrt {\dfrac{m}{2}} < 0\\{x_2} = \sqrt {\dfrac{m}{2}} > 0\end{array} \right.\).

=> \(h'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(x = 0,x = {x_1}\) và \(x = {x_2}\)

=> Hàm số \(h(x)\) có 3 điểm cực trị là \(x = 0,\,\,x = {x_1} < 0\) và \(x = {x_2} > 0\).

Do đó, hàm số có cực trị thuộc \((0;5) \Leftrightarrow {x_2} \in (0;5) \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\dfrac{m}{2}} < 5 \Leftrightarrow 0 < \dfrac{m}{2} < 25 \Leftrightarrow 0 < m < 50\).

Lại có \(m\) nguyên nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ;49\} \).

Vậy có 49 giá trị \(m\) thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.