Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I(1; - 2;3)\) bán kính \(R = 5\) và

Câu hỏi số 633559:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I(1; - 2;3)\) bán kính \(R = 5\) và mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB.

A. 8.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633559

Phương pháp giải

Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với \((P)\). Viết phương trình mặt phẳng (Q).

Theo đề ta có \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) nên \(d \subset (Q)\).

Tính d(I,(Q)) và chứng minh (Q) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn, xác định tâm H và bán kính đường tròn đó.

Tính OI và suy ra O nằm trong mặt cầu (S).

Ta có \(d\) đi qua \(O\) và cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B và \(A{B_{{\rm{max }}}}\) khi \(d \equiv {d_0} \equiv OH\).

Giải chi tiết

Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với \((P)\).

Khi đó \((Q)\) có phương trình là \(x + 2y - 2z = 0\).

Theo đề ta có \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) nên \(d \subset (Q)\).

Tính được \(d(I,(Q)) = \dfrac{{|1 + 2 \cdot ( - 2) - 2.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3 < R\) nên \((Q)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\) và bán kính bằng 3, với \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \((Q)\).

Lại có \(\overrightarrow {OI} = (1; - 2;3) \Rightarrow OI = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {14} < R\) nên \(O\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

Từ các dữ kiện trên ta có hình vẽ minh hoạ như sau:

Ta có \(d\) đi qua \(O\) và cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B và \(A{B_{{\rm{max }}}}\) khi \(d \equiv {d_0} \equiv OH\) và khi đó

Vậy \(A{B_{\max }} = {A_0}{B_0} = 2 \cdot {A_0}H = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 8.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.