Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I(1; - 2;3)$ bán kính $R = 5$ và

Câu hỏi số 633559:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I(1; - 2;3)$ bán kính $R = 5$ và mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 1 = 0$ . Một đường thẳng $d$ đi qua $O$ , song song với $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB.

A. 8.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633559

Phương pháp giải

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua điểm $O$ và song song với $(P)$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q).

Theo đề ta có $d$ đi qua $O$ , song song với $(P)$ nên $d \subset (Q)$ .

Tính d(I,(Q)) và chứng minh (Q) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn, xác định tâm H và bán kính đường tròn đó.

Tính OI và suy ra O nằm trong mặt cầu (S).

Ta có $d$ đi qua $O$ và cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt A, B và $A{B_{{\rm{max }}}}$ khi $d \equiv {d_0} \equiv OH$ .

Giải chi tiết

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua điểm $O$ và song song với $(P)$ .

Khi đó $(Q)$ có phương trình là $x + 2y - 2z = 0$ .

Theo đề ta có $d$ đi qua $O$ , song song với $(P)$ nên $d \subset (Q)$ .

Tính được $d(I,(Q)) = \dfrac{{|1 + 2 \cdot ( - 2) - 2.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3 < R$ nên $(Q)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $H$ và bán kính bằng 3, với $H$ là hình chiếu của $I$ lên $(Q)$ .

Lại có $\overrightarrow {OI} = (1; - 2;3) \Rightarrow OI = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {14} < R$ nên $O$ nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Từ các dữ kiện trên ta có hình vẽ minh hoạ như sau:

Ta có $d$ đi qua $O$ và cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt A, B và $A{B_{{\rm{max }}}}$ khi $d \equiv {d_0} \equiv OH$ và khi đó

Vậy $A{B_{\max }} = {A_0}{B_0} = 2 \cdot {A_0}H = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 8.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.