Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I(1; - 2;3)\) bán kính \(R = 5\) và
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I(1; - 2;3)\) bán kính \(R = 5\) và mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với \((P)\). Viết phương trình mặt phẳng (Q).
Theo đề ta có \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) nên \(d \subset (Q)\).
Tính d(I,(Q)) và chứng minh (Q) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn, xác định tâm H và bán kính đường tròn đó.
Tính OI và suy ra O nằm trong mặt cầu (S).
Ta có \(d\) đi qua \(O\) và cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B và \(A{B_{{\rm{max }}}}\) khi \(d \equiv {d_0} \equiv OH\).
Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(O\) và song song với \((P)\).
Khi đó \((Q)\) có phương trình là \(x + 2y - 2z = 0\).
Theo đề ta có \(d\) đi qua \(O\), song song với \((P)\) nên \(d \subset (Q)\).
Tính được \(d(I,(Q)) = \dfrac{{|1 + 2 \cdot ( - 2) - 2.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3 < R\) nên \((Q)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\) và bán kính bằng 3, với \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \((Q)\).
Lại có \(\overrightarrow {OI} = (1; - 2;3) \Rightarrow OI = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {14} < R\) nên \(O\) nằm trong mặt cầu \((S)\).
Từ các dữ kiện trên ta có hình vẽ minh hoạ như sau:
Ta có \(d\) đi qua \(O\) và cắt \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B và \(A{B_{{\rm{max }}}}\) khi \(d \equiv {d_0} \equiv OH\) và khi đó
Vậy \(A{B_{\max }} = {A_0}{B_0} = 2 \cdot {A_0}H = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 8.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
