Gọi x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức $1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x$ và \(A =

Câu hỏi số 633561:

Vận dụng cao

Gọi x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức $1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x$ và $A = \dfrac{x}{{{y^3}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó điểm $M(x;y)$ thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau?

$y = {x^3} - 4{x^2} + x - 1$ .

$y = {x^2} - 4x + 1$ .

$y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ .

$y = {x^4} - 18{x^2} + 12$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633561

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết $1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x$ , biểu diễn ${\log _2}x$ theo ${\log _2}y$ .

Đặt $t = {\log _2}y$ .

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế biểu thức $A = \dfrac{x}{{{y^3}}}$ , biểu diễn ${\log _2}A$ theo t và tìm GTNN của biểu thức. Tìm điều kiện dấu “=” xảy ra để suy ra t, từ đó tìm được x và y.

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}(2y)}} = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{1 + {{\log }_2}y}} = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}{\rm{.}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}y\left( {1 + {{\log }_2}y} \right) + {\log _2}x.{\log _2}y = {\log _2}x\left( {1 + {{\log }_2}y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + {\left( {{{\log }_2}y} \right)^2} + {\log _2}x.{\log _2}y = {\log _2}x + {\log _2}x.{\log _2}y\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + {\left( {{{\log }_2}y} \right)^2} = {\log _2}x\end{array}$

Đặt $t = {\log _2}y$ , suy ra ${\log _2}x = {t^2} + t$ .

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{{y^3}}} \Rightarrow {\log _2}A = {\log _2}x - {\log _2}{y^3} = {\log _2}x - 3{\log _2}y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^2} + t - 3t = {t^2} - 2t = {(t - 1)^2} - 1 \ge - 1\end{array}$

Suy ra $A \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Do đó ${A_{\min }} = \dfrac{1}{2}$ khi $t = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {2^{{t^2} + t}} = {2^2} = 4}\\{y = {2^t} = 2}\end{array}} \right.$ .

Suy ra $M(4;2)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.