Gọi x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức \(1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x\) và \(A =

Câu hỏi số 633561:

Vận dụng cao

Gọi x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức \(1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x\) và \(A = \dfrac{x}{{{y^3}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó điểm \(M(x;y)\) thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau?

A. \(y = {x^3} - 4{x^2} + x - 1\).

B. \(y = {x^2} - 4x + 1\).

C. \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

D. \(y = {x^4} - 18{x^2} + 12\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633561

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết \(1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x\), biểu diễn \({\log _2}x\) theo \({\log _2}y\).

Đặt \(t = {\log _2}y\).

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế biểu thức \(A = \dfrac{x}{{{y^3}}}\), biểu diễn \({\log _2}A\) theo t và tìm GTNN của biểu thức. Tìm điều kiện dấu “=” xảy ra để suy ra t, từ đó tìm được x và y.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + {\log _{2y}}x = {\log _y}x\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}(2y)}} = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{1 + {{\log }_2}y}} = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}y}}{\rm{.}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}y\left( {1 + {{\log }_2}y} \right) + {\log _2}x.{\log _2}y = {\log _2}x\left( {1 + {{\log }_2}y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + {\left( {{{\log }_2}y} \right)^2} + {\log _2}x.{\log _2}y = {\log _2}x + {\log _2}x.{\log _2}y\\ \Leftrightarrow {\log _2}y + {\left( {{{\log }_2}y} \right)^2} = {\log _2}x\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}y\), suy ra \({\log _2}x = {t^2} + t\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{{y^3}}} \Rightarrow {\log _2}A = {\log _2}x - {\log _2}{y^3} = {\log _2}x - 3{\log _2}y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^2} + t - 3t = {t^2} - 2t = {(t - 1)^2} - 1 \ge - 1\end{array}\)

Suy ra \(A \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Do đó \({A_{\min }} = \dfrac{1}{2}\) khi \(t = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {2^{{t^2} + t}} = {2^2} = 4}\\{y = {2^t} = 2}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(M(4;2)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.