Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ có đồ thị $(C)$ và $d$ là đường thẳng tiếp xúc với

Câu hỏi số 633562:

Vận dụng

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ có đồ thị $(C)$ và $d$ là đường thẳng tiếp xúc với $(C)$ tại điểm cực đại. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ .

A. 6.

B. 4.

\frac{9}{4}

$\dfrac{9}{4}$ .

\frac{27}{4}

$\dfrac{{27}}{4}$ .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633562

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right.$ tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số (C).

Viết phương trình đường thẳng d bằng cách sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ .

Giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) tìm các cận của tích phân.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ .

Giải chi tiết

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$ .

Giải $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 1}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.$ .

Ta có $y'' = 6x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ .

=> Điểm cực đại của hàm số là $A(0;1)$ .

Ta có: $y'\left( 0 \right) = 0$ .

=> Phương trình đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(C)$ tại điểm cực đại $A(0;1)$ là: $y = 0\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 1.\,\,\left( d \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): ${x^3} - 3{x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $d$ là $S = \int_0^3 {\left| {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) - 1} \right|} {\rm{d}}x = \int_0^3 {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} {\rm{d}}x = \dfrac{{27}}{4}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.