Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \((C)\) và \(d\) là đường thẳng tiếp xúc với

Câu hỏi số 633562:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \((C)\) và \(d\) là đường thẳng tiếp xúc với \((C)\) tại điểm cực đại. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\).

A. 6.

B. 4.

C. \(\dfrac{9}{4}\).

D. \(\dfrac{{27}}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633562

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right.\) tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số (C).

Viết phương trình đường thẳng d bằng cách sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) tìm các cận của tích phân.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 1}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\).

Ta có \(y'' = 6x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 1\).

=> Điểm cực đại của hàm số là \(A(0;1)\).

Ta có: \(y'\left( 0 \right) = 0\).

=> Phương trình đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \((C)\) tại điểm cực đại \(A(0;1)\) là: \(y = 0\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 1.\,\,\left( d \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): \({x^3} - 3{x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((C)\) và \(d\) là \(S = \int_0^3 {\left| {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right) - 1} \right|} {\rm{d}}x = \int_0^3 {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} {\rm{d}}x = \dfrac{{27}}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.