Cho khối nón tròn xoay có đỉnh $S$ , đáy là đường tròn tâm $O$ , góc ở đỉnh bằng

Câu hỏi số 634552:

Vận dụng

Cho khối nón tròn xoay có đỉnh $S$ , đáy là đường tròn tâm $O$ , góc ở đỉnh bằng ${120^0}$ . Mặt phẳng $\left( Q \right)$ thay đổi, đi qua $S$ và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác $SAB$ . Biết rằng giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $SAB$ là $2{a^2}$ . Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ trong trường hợp diện tích tam giác $SAB$ đạt giá trị lớn nhất là

\frac{a \sqrt{2}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ .

\frac{a \sqrt{3}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

a \sqrt{2}

$a\sqrt 2$ .

\frac{a \sqrt{6}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634552

Phương pháp giải

${S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB.\sin S \le \dfrac{1}{2}S{A^2},\,\,{S_{SAB\max }} = \dfrac{1}{2}S{A^2}$ khi và chỉ khi $\widehat S = {90^0}$ .

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB, dựng OK vuông góc SI $\Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK$ .

Ta có: ${S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB.\sin \angle ASB \le \dfrac{1}{2}S{A^2}$ .

$\Rightarrow {S_{SAB}}\max = \dfrac{1}{2}S{A^2}$ khi và chỉ khi $\angle ASB = {90^0} \Leftrightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại S.

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}S{A^2} = 2{a^2} \Rightarrow SA = 2a \Rightarrow AB = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AI = a\sqrt 2$ .

Tam giác SAO vuông tại O $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = SA.\cos \angle ASO = 2a.\cos {60^0} = a\\OA = SA.\sin \angle ASO = SA.\sin {60^0} = a\sqrt 3 \end{array} \right.$ .

Tam giác OAI vuông tại I $\Rightarrow OI = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a$ .

Tam giác SOI vuông tại O có: $SO = OI = a \Rightarrow OK = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$ .

Vậy khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ trong trường hợp diện tích tam giác $SAB$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.