Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \). Tính

Câu hỏi số 642527:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

A. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

B. \(\dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642527

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.

Chứng minh: \(d(AB,CD) = d(AB,(SCD)) = d(M,(SCD))\), với M là trung điểm của AB.

Trong (SMN) kẻ \(MI \bot SN,(I \in SN)\), chứng minh \(MI \bot \left( {SCD} \right)\).

Sử dụng đẳng thức \(MI.SN = SO.MN\) tính MI.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Khi đó \(d(AB,CD) = d(AB,(SCD)) = d(M,(SCD))\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot MN}\\{CD \bot SO}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SMN) \Rightarrow (SCD) \bot (SMN)} \right.\) mà \((SCD) \cap (SMN) = SN\)

Do đó, trong (SMN) kẻ \(MI \bot SN,(I \in SN)\) thì \(MI \bot (SCD) \Rightarrow d(M,(SCD)) = MI\).

Xét tam giác SAC có \(SA = SC = AC = a\sqrt 2 \) nên \(\Delta SAC\) đều, do đó \(SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Ta có: \(MI.SN = SO.MN \Rightarrow MI = \dfrac{{SO.MN}}{{SN}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a}}{{\sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Vậy \(d(AB,CD) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.