Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau \(\left( {{d_1}} \right):\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y +

Câu hỏi số 642528:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau \(\left( {{d_1}} \right):\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\), \(\left( {{d_2}} \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) là

A. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\).

B. \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 2}}\).

C. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{2}\).

D. \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642528

Phương pháp giải

Gọi \(d\) vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi \(M = d \cap {d_1},\,\,N = d \cap {d_2}\), tham số hoá toạ độ điểm M, N theo biến t, t’.

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\) tìm t, t’.

Suy ra toạ độ điểm M, vectơ \(\overrightarrow {MN} \).

Viết phương trình đường thẳng d đi qua N và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {MN} \).

Giải chi tiết

Gọi \(d\) vuông góc chung của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\).

Vì d là đường vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) nên d cắt đồng thời \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\).

Gọi \(M = d \cap {d_1},\,\,N = d \cap {d_2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1 + 3t; - 1 + 2t;2 - 2t} \right)\\N\left( {4 + 2t';4 + 2t'; - 3 - t'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2t' - 3t + 3;2t' - 2t + 5; - t' + 2t - 5} \right)\).

Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;2; - 2} \right)\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot {d_1}\\d \bot {d_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2t' - 3t + 3} \right) + 2\left( {2t' - 2t + 5} \right) - 2\left( { - t' + 2t - 5} \right) = 0\\2\left( {2t' - 3t + 3} \right) + 2\left( {2t' - 2t + 5} \right) - 1\left( { - t' + 2t - 5} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12t' - 17t + 29 = 0\\9t' - 12t + 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = - 1\\t = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow M\left( {4;1;0} \right),\,\,N\left( {2;2; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng (d) đi qua N(2;2;-2) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\) có phương trình: \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.