Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{2x}} + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{4x + 2}&{{\rm{

Câu hỏi số 642529:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{2x}} + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{4x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.$ . Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên $\mathbb{R}$ thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng $F(1) + 3F( - 1) = a{e^2} + b$ (trong đó a, b là các số hữu tỉ). Khi đó a+b bằng

A. 8.

B. 5.

C. 4.

D. 10.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642529

Phương pháp giải

Tìm $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}$ trên các khoảng xác định.

Trên mỗi khoảng tìm hằng số C tương ứng.

Để F(x) liên tục tại x = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} F(x) = F(0)$ .

Suy ra hàm số F(x) tường minh. Tính F(1), F(-1).

Giải chi tiết

Ta có $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\int {\left( {{e^{2x}} + 1} \right)} {\rm{d}}x = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + x + {C_1}}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{\int {(4x + 2)} {\rm{d}}x = 2{x^2} + 2x + {C_2}}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.$ .

Do $F( - 2) = 5 \Leftrightarrow {C_2} = 1$ .

Do $F(x)$ liên tục tại $x = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + 0 + {C_1} = {C_2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + {C_1} = 1 \Leftrightarrow {C_1} = \dfrac{1}{2}$ .

Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + x + \dfrac{1}{2}}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2{x^2} + 2x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.$ .

Suy ra $F(1) + 3F( - 1) = \dfrac{1}{2}{e^2} + \dfrac{9}{2}$ . Khi đó $a = \dfrac{1}{2};b = \dfrac{9}{2}$ .

Vậy $a + b = 5$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.