Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón (N) theo thiết

Câu hỏi số 642530:

Vận dụng

Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác đều. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng (P) bằng \(\sqrt 6 \). Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) bằng

A. \(81\pi \).

B. \(27\pi \).

C. \(36\pi \).

D. \(12\pi \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642530

Phương pháp giải

Giả sử (P) cắt (N) theo thiết diện là tam giác SAB.

Kẻ \(OH \bot AB,\,\,OK \bot SH\), chứng minh \(OK \bot \left( {SAB} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOH tính OH.

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOH tính SH.

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAH tính AB.

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAH tính OA.

Tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO\).

Giải chi tiết

Ta có: SO = 3.

Kẻ \(OH \bot AB \Rightarrow AH = HB\).

Kẻ \(OK \bot SH \Rightarrow OK \bot AB \Rightarrow d(O;(P)) = d(O;(SAB)) = OK = \sqrt 6 \).

Kẻ \(OH \bot AB \Rightarrow AH = HB = \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{2} = \sqrt 3 a\).

Tam giác vuông SOH vuông tại O, ta có:

\(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{K^2}}} - \dfrac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow OH = \sqrt {\dfrac{{S{O^2}.O{K^2}}}{{S{O^2} - O{K^2}}}} = 3\sqrt 2 \).

Tam giác vuông SOH vuông tại O có \(SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = 3\sqrt 3 \).

Tam giác vuông SAH vuông tại H có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {A{B^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = 6\).

Xét tam giác vuông OAH, ta có: \(OA = \sqrt {H{A^2} + O{H^2}} = \sqrt {{3^2} + {{(3\sqrt 2 )}^2}} = 3\sqrt 3 \)

Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón \((N)\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .27.3 = 27\pi \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.