Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a.

Câu hỏi số 642532:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của cạnh AA’, biết hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642532

Phương pháp giải

Từ tính chất về tam giác cân tính AB, AC và tính \({S_{\Delta ABC}}\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’), từ đó tính AA’.

Tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, có BC = a

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{1}{4}{a^2}\end{array}\)

Tam giác ABC và A’B’C’ cân tại A và A’ nên MB = MC = MB’ = MC'.

Gọi I, I’ là trung điểm của BC và B’C’, hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) vuông góc với nhau nên \(\angle IMI' = {90^0},\,\,\Delta IMI'\) vuông cân \( \Rightarrow \angle MI'I = {45^0} \Rightarrow \angle MI'A' = {45^0}\).

Lại có \(AI = A'I' = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) nên \(M'A = A'I' = \dfrac{a}{2} \Rightarrow AA' = a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\dfrac{1}{4}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.