Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}}$ là

Câu hỏi số 642531:

Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}}$ là số thuần ảo. Xét các số phức ${z_1},{z_2} \in S$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2$ , giá trị lớn nhất của $P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2}$ bằng

A. 10

B. 20.

$2\sqrt {26}$ .

$4\sqrt {26}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642531

Phương pháp giải

Đặt $z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})$ . Tính số phức w theo x và y.

Số w là số thuần ảo khi phần thực của nó bằng 0. Từ đó tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z.

Gọi M, N là điểm biểu diễn ${z_1},{z_2}$ , từ giả thiết suy ra MN = 2.

Gọi A(0;3), sử dụng phương pháp hình học đưa biểu thức P về biểu thức vectơ.

Giải chi tiết

Ta có: $z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})$ .

$w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}} = \dfrac{{(x - 1) + (y - 3)i}}{{(x + 3) + (y + 1)i}} = \dfrac{{[(x - 1) + (y - 3)i][(x + 3) - (y + 1)i]}}{{[(x + 3) + (y + 1)i][(x + 3) - (y + 1)i]}}$

Để $w$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) + (y + 3)(y + 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ .

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của ${z_1},{z_2}$ ta có $M,N \in (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$

Đường tròn (C) có tâm $I( - 1; - 2)$ , bán kính $R = \sqrt 5$

Các số phức ${z_1},{z_2} \in S$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow MN = 2$ .

Gọi A(0;3) ta có:

$\begin{array}{l}P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2}\\ = A{M^2} - A{N^2}\\ = {(\overrightarrow {AM} )^2} - {(\overrightarrow {AN} )^2}\\ = {(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IM} )^2} - {(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IN} )^2}\end{array}$

$\begin{array}{l} = I{A^2} + I{M^2} + 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IM} - I{A^2} - I{N^2} - 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IN} \\ = 2\overrightarrow {AI} (\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} )\\ = 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {NM} \\ = 2.IA.MN.\cos (\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {NM} )\\ \le 2.IA.MN = 2.\sqrt {26} .2 = 2\sqrt {26} \end{array}$

Do $M,N \in (C) \Rightarrow IM = IN = R = \sqrt 5 ;IA = \sqrt {26}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {NM}$ cùng hướng.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.