Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức \(w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}}\) là

Câu hỏi số 642531:

Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức \(w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}}\) là số thuần ảo. Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2}\) bằng

A. 10

B. 20.

C. \(2\sqrt {26} \).

D. \(4\sqrt {26} \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642531

Phương pháp giải

Đặt \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\). Tính số phức w theo x và y.

Số w là số thuần ảo khi phần thực của nó bằng 0. Từ đó tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z.

Gọi M, N là điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\), từ giả thiết suy ra MN = 2.

Gọi A(0;3), sử dụng phương pháp hình học đưa biểu thức P về biểu thức vectơ.

Giải chi tiết

Ta có: \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\).

\(w = \dfrac{{z + 3i - 1}}{{z + 3 + i}} = \dfrac{{(x - 1) + (y - 3)i}}{{(x + 3) + (y + 1)i}} = \dfrac{{[(x - 1) + (y - 3)i][(x + 3) - (y + 1)i]}}{{[(x + 3) + (y + 1)i][(x + 3) - (y + 1)i]}}\)

Để \(w\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) + (y + 3)(y + 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0\).

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2}\) ta có \(M,N \in (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0\)

Đường tròn (C) có tâm \(I( - 1; - 2)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \)

Các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow MN = 2\).

Gọi A(0;3) ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2}\\ = A{M^2} - A{N^2}\\ = {(\overrightarrow {AM} )^2} - {(\overrightarrow {AN} )^2}\\ = {(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IM} )^2} - {(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IN} )^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = I{A^2} + I{M^2} + 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IM} - I{A^2} - I{N^2} - 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {IN} \\ = 2\overrightarrow {AI} (\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} )\\ = 2\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {NM} \\ = 2.IA.MN.\cos (\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {NM} )\\ \le 2.IA.MN = 2.\sqrt {26} .2 = 2\sqrt {26} \end{array}\)

Do \(M,N \in (C) \Rightarrow IM = IN = R = \sqrt 5 ;IA = \sqrt {26} \)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {NM} \) cùng hướng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.