Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và

Câu hỏi số 642533:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\). Lấy điểm M(a;b;c) với a < 0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là tiếp điểm) thoả mãn \(\angle AMB = {60^0},\) \(\angle BMC = {90^0}\), \(\angle CMA = {120^0}\). Tổng \(a + b + c\) bằng

A. \(\dfrac{{10}}{3}\)

B. 1

C. -2

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642533

Phương pháp giải

Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

Tính MI.

Gọi \(M\left( {t - 1;t - 2;t + 1} \right) \in d\), giải phương trình MI = 6 tìm t.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3), bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).

Theo tính chất của tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến mặt cầu ta có A, B, C thuộc đường tròn (C) tâm H.

Đặt MA = MB = MC = a.

Ta có: \(AB = a,BC = a\sqrt 2 ,AC = a\sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow H\) là trung điểm AC.

Do đó: \(\sin {60^0} = \dfrac{{AI}}{{MI}} \Rightarrow MI = 6\).

Gọi \(M\left( {t - 1;t - 2;t + 1} \right) \in d\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{I^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow M\left( { - 1; - 2;1} \right)\,\,\left( {do\,\,{x_M} < 0} \right)\\ \Rightarrow a + b + c = - 2.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.