Cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) đồng tâm I, có bán kính lần

Câu hỏi số 643060:

Vận dụng cao

Cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) đồng tâm I, có bán kính lần lượt là \({R_1} = 2\) và \({R_2} = \sqrt {10} \). Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm trên \(\left( {{S_1}} \right)\) và hai đỉnh C, D nằm trên \(\left( {{S_2}} \right)\). Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

A. \(6\sqrt 2 \).

B. \(3\sqrt 2 \).

C. \(4\sqrt 2 \).

D. \(7\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643060

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = \dfrac{{AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD)}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \dfrac{{AB.CD.d(AB,CD)}}{6},{\rm{ khi }}AB \bot CD\end{array}\)

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD, suy ra \(IH \bot AB,IK \bot CD\).

Đặt: \(IH = x{\rm{ }}\left( {0 < x < 2} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {4 - {x^2}} {\rm{. }}\)

\(IK = y{\rm{ }}\left( {0 < y < \sqrt {10} } \right) \Rightarrow CD = 2\sqrt {10 - {y^2}} {\rm{.}}\)

Khi đó \(d(AB,CD) \le HK = x + y\), khi ba điểm H, I, K thẳng hàng.

\((1) \Leftrightarrow {V_{ABCD}} \le \dfrac{{2\sqrt {4 - {x^2}} .2\sqrt {10 - {y^2}} .(x + y)}}{6} = \dfrac{2}{3}\sqrt {4 - {x^2}} .\sqrt {10 - {y^2}} .\sqrt {{{(x + y)}^2}} \)

Ta có \(2{(x + y)^2} \le 3\left( {2{x^2} + {y^2}} \right)\quad (*)\).

Thật vậy \((*) \Leftrightarrow {(2x - y)^2} \ge 0\), đẳng thức xảy ra khi \(y = 2x\).

Khi đó \((2) \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {8 - 2{x^2}} .\sqrt {10 - {y^2}} .\sqrt {2{x^2} + {y^2}} \)

Vì \(18 = \left( {8 - 2{x^2}} \right) + \left( {10 - {y^2}} \right) + \left( {2{x^2} + {y^2}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {8 - 2{x^2}} \right)\left( {10 - {y^2}} \right)\left( {2{x^2} + {y^2}} \right)}}\)

\( \Rightarrow 216 \ge \left( {8 - 2{x^2}} \right)\left( {10 - {y^2}} \right)\left( {2{x^2} + {y^2}} \right)\)

Từ đây suy ra \({V_{ABCD}} \le \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt {216} = 6\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{{\rm{max }}}} = 6\sqrt 2 \) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - 2{x^2} = 10 - {y^2}}\\{8 - 2{x^2} = 2{x^2} + {y^2}}\end{array} \Rightarrow y = 2x = 2} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.