Xét các số thực x, y sao cho \(4{\log _3}{a^{(\log ,a - 2x + 2)}} - \left( {{y^2} - 25} \right){\log _{\sqrt 3

Câu hỏi số 643062:

Vận dụng cao

Xét các số thực x, y sao cho \(4{\log _3}{a^{(\log ,a - 2x + 2)}} - \left( {{y^2} - 25} \right){\log _{\sqrt 3 }}4 \ge 0\) luôn đúng với mọi \(a > 0\). Hỏi có tối đa bao nhiêu giá trị nguyên cuả biểu thức \(F = {x^2} + {y^2} - 2x - 14y + 51\)?

A. 139.

B. 141.

C. 140.

D. 138.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643062

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}4{\log _3}{a^{(\log ,a - 2x + 2)}} - \left( {{y^2} - 25} \right){\log _{\sqrt 3 }}4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{{\log }_2}a - 2x + 2} \right){\log _3}a - 4\left( {{y^2} - 25} \right){\log _3}2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}a - 2x + 2} \right){\log _2}a - \left( {{y^2} - 25} \right) \ge 0.\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}a\). Do \(a > 0\) nên \(t \in \mathbb{R}\).

Ta được phương trình \((t - 2x + 2)t - \left( {{y^2} - 25} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2(x - 1)t + 25 - {y^2} \ge 0\).

Để bất phương trình \({t^2} - 2(x - 1)t + 25 - {y^2} \ge 0\) luôn đúng với \(\forall t \Rightarrow \Delta ' \le 0 \Rightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} \le 25\).

\(F = {x^2} + {y^2} - 2x - 14y + 51 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 7)^2} = F - 1\,\,\,(F > 1)\).

Hình tròn \((C):{(x - 1)^2} + {y^2} \le 25\) có tâm \(I(1;0),\) bán kính R = 5.

Hình tròn \(\left( {{C_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 7)^2} = F - 1(F > 1)\). có tâm \({I_1}(1;7),BK{R_1} = \sqrt {F - 1} \).

Ta có \({\overrightarrow {II} _1} = (0;7) \Rightarrow I{I_1} = 7\).

Để tồn tại x, y thì đường tròn và hình tròn phải có điểm chung diều kiện là

Hình tròn \(\left| {R - {R_1}} \right| \le {I_1} \le R + {R_1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{R_1} \ge 2}\\{{R_1} \le 12}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F - 1 \ge 4}\\{F - 1 \le 144}\end{array} \Rightarrow 5 \le F \le 145} \right.} \right.\).

Vậy có tối đa 141 giá trị nguyên.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.