Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C

Câu hỏi số 658289:

Vận dụng

Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O; R) tại điểm E (\(E \ne D\)). Gọi I là trung điểm của DE.

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658289

Giải chi tiết

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(AB \bot OB,AC \bot OC\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \angle ACO = \angle ABO = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OCAB nội tiếp hay O, C, A, B cùng thuộc một đường tròn (1)

Do I là trung điểm của DE nên \(OI \bot DE\) (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

\( \Rightarrow \angle OIA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle OIA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên OIAC nội tiếp hay O, I, A, C cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC. Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA.

Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => A thuộc trung trực của BC

OB = OC (bằng bán kính) => O thuộc trung trực của BC.

\( \Rightarrow \) AO là trung trực của BC hay \(AO \bot BC\) tại H

Xét tam giác ABO vuông tại B, đường cao BH nên:

\(A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

Ta có \(\angle BIA = \angle BCA\) (hai góc nội tiếp chắn cung AB) \( \Rightarrow \angle BIA = \angle ABC\,\,\left( { = \angle BCA} \right)\).

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta AIB\) có:

\(\angle BAI\) chung

\(\angle BIA = \angle ABC = \angle ABK\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta AIB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AI}} = \dfrac{{AK}}{{AB}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Leftrightarrow A{B^2} = AK.AI\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AK.AI = AH.AO\,\,\,\left( { = A{B^2}} \right)\) (đpcm)

Do \(BD\parallel AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BDA = \angle DAC\) (so le trong)

Mà \(\angle BDA = \angle ABF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

\( \Rightarrow \angle DAC = \angle ABF\left( { = \angle BDA} \right) = \angle EAF\).

Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta BFA\) có:

\(\angle BFA\) chung

\(\angle EAF = \angle ABF\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {g.g} \right)\) (đpcm)

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.

Do \(\Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{FE}}{{FA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow F{A^2} = FB.FE\)

Xét \(\Delta FEC\) và \(\Delta FCB\) có \(\angle CFB\) chung và \(\angle FCE = \angle CBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE).

\( \Rightarrow \Delta FEC \sim \Delta FCB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FC}}{{FB}} = \dfrac{{FE}}{{FC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow F{C^2} = FE.FB\)

\( \Rightarrow FC = FA \Rightarrow F\) là trung điểm của AC.

Gọi M là giao điểm của DC và AB, N là giao điểm của MF và BD.

Do \(BD\parallel AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{FC}} = \dfrac{{BN}}{{FA}}\,\,\left( { = \dfrac{{MN}}{{MF}}} \right)\) (định lí Ta-lét).

\( \Rightarrow DN = BN\) (do \(FC = FA\))

Gọi K’ là giao điểm của NF và BC \( \Rightarrow \dfrac{{BK'}}{{CK'}} = \dfrac{{BN}}{{CF}}\) (Định lí Ta-lét) (5)

Mà \(\dfrac{{BN}}{{CF}} = \dfrac{{2BN}}{{2CF}} = \dfrac{{BD}}{{AC}} = \dfrac{{BK}}{{CK}}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(K,K'\) cùng nằm trên đoạn BC và \(\dfrac{{BK}}{{CK}} = \dfrac{{BK'}}{{CK'}}\,\,\,\left( { = \dfrac{{BD}}{{AC}}} \right) \Rightarrow K \equiv K'\)

Chứng tỏ M, N, K, F thẳng hàng hay ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy tại M.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link