Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Trên tia BA lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ DH vuông góc với

Câu hỏi số 659330:

Thông hiểu

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Trên tia BA lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DH và AC. Chứng minh rằng:

a) $\angle DHA = \angle DCA$

b) $AK = AB$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:659330

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp từ đó suy ra các góc nội tiếp bằng nhau

b) Chứng minh $\angle AKB = \angle ABK \Rightarrow \Delta AKB$ cân tại A.

Giải chi tiết

a) $\angle DHA = \angle DCA$

Ta có $\angle DAC = \angle DHC = {90^0}$ (do tam giác ABC vuông tại A và $DH \bot BC$ tại H)

Mà A, H là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn DC dưới 2 góc bằng nhau nên AHCD nội tiếp

$\Rightarrow \angle DHA = \angle DAC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) (đpcm)

b) $AK = AB$

Do AD = AC (giá trị) nên tam giác ACD cân tại A $\Rightarrow \angle ADC = \angle ACD$ (tính chất) (1)

Xét tứ giác AKHB có $\angle BAK = \angle AHK = {90^0} \Rightarrow \angle BAK + \angle AHK = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Suy ra tứ giác AKHB nội tiếp (tổng hai góc đối bằng ${180^0}$ ) (đhnb)

$\Rightarrow \angle AKB = \angle AHB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà $\angle AHB = \angle BDC$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp AHCD)

$\Rightarrow \angle AKB = \angle BDC = \angle ADC$ (2)

Ta có $\angle ABK = \angle AHK$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Mà $\angle AHK = \angle AHD = \angle ACD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$\Rightarrow \angle ABK = \angle ACD$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\angle AKB = \angle ABK \Rightarrow \Delta AKB$ cân tại A.

Vậy AK = AB (tính chất tam giác cân) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.