Cho tam giác ABC (AB > BC > CA) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi điểm K là chân
Cho tam giác ABC (AB > BC > CA) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi điểm K là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm đối xứng với điểm B qua điểm K. Gọi điểm N là giao điểm của hai đường thẳng HM và AC.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm F \(\left( {F \ne A} \right)\). Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng KN và BF. Chứng minh rằng NA.NC = NM.FP.
Quảng cáo
a) Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh dưới 2 góc bằng nhau.
b) Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.
Vì M đối xứng với B qua K nên BK = MK.
Xét \(\Delta HBK\) và \(\Delta HMK\) có:
\(\begin{array}{l}HK\,\,chung\\\angle HKB = \angle HKM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\BK = MK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta HBK = \Delta HMK\) (hai cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow HB = HM\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow \Delta HBM\) cân tại H (định nghĩa)
\( \Rightarrow \angle HBM = \angle HMB\) (tính chất tam giác cân)(1)
Kéo dài BH cắt AC tại E. Vì H là trực tâm của tam giác ABC (gt) \( \Rightarrow BE \bot AC \Rightarrow \Delta BCE\) vuông tại C.
Ta có: \(\angle HBM + \angle BCE = {90^0}\) (tam giác BCE vuông tại C).
\(\angle HAC + \angle BCE = {90^0}\) (tam giác ACK vuông tại K).
\( \Rightarrow \angle HBM = \angle HAC\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle HMB = \angle HAC \Rightarrow \angle HMC = \angle HAC\).
Mà 2 đỉnh A, M kề nhau cùng nhìn HC dưới hai góc bằng nhau.
\( \Rightarrow AHCM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
Vậy bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm F \(\left( {F \ne A} \right)\). Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng KN và BF. Chứng minh rằng NA.NC = NM.FP.
Ta có: \(\angle HBM = \angle HAC\) (cmt) \( \Rightarrow \angle HBK = \angle FAC\).
Mà \(\angle FAC = \angle FBC = \angle FBK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FC).
\( \Rightarrow \angle HBK = \angle FBK\).
Xét tam giác vuông BHK và tam giác vuông BFK có:
\(\begin{array}{l}\angle BKH = \angle BKF = {90^0}\\BK\,\,chung\\\angle HBK = \angle FBK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta BHK = \Delta BFK\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
\( \Rightarrow HK = FK\) (hai cạnh tương ứng) và \(\angle BHK = \angle BFK\) (hai góc tương ứng).
Ta có: \(\Delta HBK = \Delta HMK\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BHK = \angle MHK\) (hai góc tương ứng).
\( \Rightarrow \angle BFK = \angle MHK \Rightarrow \angle PFK = \angle NHK\).
Xét \(\Delta PFK\) và \(\Delta NHK\) có:
\(\begin{array}{l}FK = HK\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle PFK = \angle NHK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\(\angle FKP = \angle HKN\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta PFK = \Delta NHK\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow FP = NH\) (hai cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta NAH\) và \(\Delta NMC\) có:
\(\angle ANH = \angle MNC\) (đối đỉnh)
\(\angle NAH = \angle NMC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC của tứ giác nội tiếp AHCM).
\( \Rightarrow \Delta NAH \sim \Delta NMC\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{NM}} = \dfrac{{NH}}{{NC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
\( \Rightarrow NA.NC = NM.NH\).
Mà NH = FB (cmt).
Vậy NA.NC = NM.FP (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
