Cho \(A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots . + \dfrac{1}{{99.100}}\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 665899:

Vận dụng cao

Cho \(A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots . + \dfrac{1}{{99.100}}\). Chứng minh rằng \(\dfrac{7}{{12}} < A < \dfrac{5}{6}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:665899

Phương pháp giải

Chứng minh \(\dfrac{7}{{12}} < \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} \Rightarrow \dfrac{7}{{12}} < A\)

Chứng minh \(A > \dfrac{5}{6}\) (sử dụng tính chất \(\dfrac{1}{{x(x - 1)}} = \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{x}\))

Giải chi tiết

Ta có \(\dfrac{7}{{12}} = \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} < A(1)\)

Lại có \(A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{3.4}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \left( {\dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{5.6}} + \ldots + \dfrac{1}{{99.100}}} \right)\)

\( \Rightarrow A < \dfrac{1}{2} + \left( {\dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{98.99}}} \right)\)

Mà \(\dfrac{1}{2} + \left( {\dfrac{1}{{3.4}} + \dfrac{1}{{4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{98.99}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2} + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \ldots + \dfrac{1}{{98}} - \dfrac{1}{{99}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{99}} < \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\\ \Rightarrow {\rm{A}} < \dfrac{5}{6}(2)\end{array}\)

Từ \({\rm{(1)}}{\rm{,(2)}} \Rightarrow \dfrac{7}{{12}} < A < \dfrac{5}{6}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link