Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường

Câu hỏi số 668614:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC.

a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) và $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}$ .

c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A, F, G thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668614

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác có hai góc có tổng bằng ${180^0}$

b) Chứng minh OD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD

Mà F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD $\Rightarrow DF \bot OF$ tại F

Mà OF là bán kính của (O) nên DF là tiếp tuyến của (O)

c) Chứng minh $\Delta DCF \sim \Delta DFB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FC}} = \dfrac{{DB}}{{DF}}$

Chứng minh $\Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}$

Mà $DA = DF$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra dpcm.

c) Gọi H là giao điểm của AF và OD. Chứng minh $A{O^2} = OH.OD$

Chứng minh O, E, G thẳng hàng. Chứng mimh $O{C^2} = OE.OG$

Từ đó chứng minh $\angle \Delta OHG\~\Delta OED\left( {c.g.c} \right)$ $\Rightarrow GH \bot OD$

Mà $AH \bot OD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow H,F,G,A$ thẳng hàng

Giải chi tiết

a) Vì AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên $OA \bot AD \Rightarrow \angle OAD = {90^0}$ .

Vì E là hình chiếu vuông góc của O trên BC $\Rightarrow \angle OED = {90^0}$ .

Xét tứ giác AODE có: $\angle OAD + \angle OED = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ .

$\Rightarrow AODE$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180^0}$ ).

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD có $\angle OAD = {90^0}$

$\Rightarrow \angle OAD$ nội tiếp chắn nửa đường tròn.

=> OD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD.

$\Rightarrow \angle OFD = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow DF \bot OF$ tại F, với OF là một bán kính của (O).

Vậy DF là tiếp tuyến của (O) tại F.

Xét $\Delta DCF$ và $\Delta DFB$ có:

$\angle FDB$ chung

$\angle DFC = \angle DBF$ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của (O))

$\Rightarrow \Delta DCF \sim \Delta DFB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FC}} = \dfrac{{DB}}{{DF}}$ (1)

Tương tự ta chứng minh $\Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right)$ (do $\angle ADB$ chung và $\angle DAC = \angle DBA$ )

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}$ (2)

Mà $DA = DF$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}$ (đpcm)

Do G là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O) nên GB = GC (tính chất)

Mà OB = OC (bán kính) nên OG là trung trực của BC (tính chất)

Mà $OE \bot BC$ (cmt) nên O, E, G thẳng hàng.

$\Rightarrow \Delta OCG$ vuông tại C, đường cao CE nên $O{C^2} = OE.OG$

Gọi H là giao điểm của AF và OD

Do DA = DF (cmt) và OA = OF (bán kính) nên OD là trung trực của AF (tính chất)

$\Rightarrow OD \bot AF$ tại H

$\Rightarrow \Delta AOD$ vuông tại A, đường cao AH nên $A{O^2} = OH.OD$

Mà OA = OC (bằng bán kính) nên từ $OE.OG = OH.OD$ $\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OG}}$

Mà $\angle GOD$ chung nên suy ra $\angle \Delta OHG\~\Delta OED\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OHG = \angle DHG = {90^0}$

$\Rightarrow GH \bot OD$

Mà $AH \bot OD$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow H,F,G,A$ thẳng hàng

Vậy A, F, G thẳng hàng (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.