Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường

Câu hỏi số 668614:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB > AC và nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng BC.

a) Chứng minh AOED là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F (F không trùng với A). Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) và \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}\).

c) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại G. Chứng minh ba điểm A, F, G thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:668614

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác có hai góc có tổng bằng \({180^0}\)

b) Chứng minh OD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD

Mà F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD \( \Rightarrow DF \bot OF\)tại F

Mà OF là bán kính của (O) nên DF là tiếp tuyến của (O)

c) Chứng minh \(\Delta DCF \sim \Delta DFB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FC}} = \dfrac{{DB}}{{DF}}\)

Chứng minh \(\Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\)

Mà \(DA = DF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra dpcm.

c) Gọi H là giao điểm của AF và OD. Chứng minh \(A{O^2} = OH.OD\)

Chứng minh O, E, G thẳng hàng. Chứng mimh \(O{C^2} = OE.OG\)

Từ đó chứng minh \(\angle \Delta OHG\~\Delta OED\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow GH \bot OD\)

Mà \(AH \bot OD\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow H,F,G,A\) thẳng hàng

Giải chi tiết

a) Vì AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên \(OA \bot AD \Rightarrow \angle OAD = {90^0}\).

Vì E là hình chiếu vuông góc của O trên BC \( \Rightarrow \angle OED = {90^0}\).

Xét tứ giác AODE có: \(\angle OAD + \angle OED = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow AODE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD có \(\angle OAD = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle OAD\) nội tiếp chắn nửa đường tròn.

=> OD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOD.

\( \Rightarrow \angle OFD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow DF \bot OF\) tại F, với OF là một bán kính của (O).

Vậy DF là tiếp tuyến của (O) tại F.

Xét \(\Delta DCF\) và \(\Delta DFB\) có:

\(\angle FDB\) chung

\(\angle DFC = \angle DBF\) (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của (O))

\( \Rightarrow \Delta DCF \sim \Delta DFB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FB}}{{FC}} = \dfrac{{DB}}{{DF}}\) (1)

Tương tự ta chứng minh \(\Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right)\) (do \(\angle ADB\) chung và \(\angle DAC = \angle DBA\))

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DA}}\) (2)

Mà \(DA = DF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{FB}}{{FC}}\) (đpcm)

Do G là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O) nên GB = GC (tính chất)

Mà OB = OC (bán kính) nên OG là trung trực của BC (tính chất)

Mà \(OE \bot BC\) (cmt) nên O, E, G thẳng hàng.

\( \Rightarrow \Delta OCG\) vuông tại C, đường cao CE nên \(O{C^2} = OE.OG\)

Gọi H là giao điểm của AF và OD

Do DA = DF (cmt) và OA = OF (bán kính) nên OD là trung trực của AF (tính chất)

\( \Rightarrow OD \bot AF\) tại H

\( \Rightarrow \Delta AOD\) vuông tại A, đường cao AH nên \(A{O^2} = OH.OD\)

Mà OA = OC (bằng bán kính) nên từ \(OE.OG = OH.OD\)\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OG}}\)

Mà \(\angle GOD\) chung nên suy ra \(\angle \Delta OHG\~\Delta OED\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OHG = \angle DHG = {90^0}\)

\( \Rightarrow GH \bot OD\)

Mà \(AH \bot OD\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow H,F,G,A\) thẳng hàng

Vậy A, F, G thẳng hàng (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.