Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\) \((1)\)(với x là ẩn số) a) Giải phương

Câu hỏi số 668613:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\) \((1)\)(với x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = -2.

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668613

Phương pháp giải

a) Thay m = -2 vào phương trình.

Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng phương pháp nhẩm nghiệm:

a – b + c = 0 thì PT có một nghiệm là -1, nghiệm còn lại là \(\dfrac{{ - c}}{a}\)

b) Công thức \(\Delta ' = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} - a.c\)

Chứng minh \(\Delta > 0\) với mọi m

c) Hệ thức vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Biến đổi theo yêu cầu đề bài cho.

Giải chi tiết

a) Thay m = -2 vào phương trình (1) ta có:

\({x^2} - 2\left( { - 2 + 3} \right)x + 2.( - 2) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \dfrac{{ - c}}{a} = 3\end{array} \right.\).

Vậy khi m = -2 thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 2m - 1\\\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1\\\,\,\,\,\, = {m^2} + 4m + 8\\\,\,\,\,\, = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 \ge 4,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0,\forall m\).

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 3)\\{x_1}.{x_2} = 2m + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) - 2({x_1} + {x_2}) = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\\ \Leftrightarrow {\left[ {2(m + 3)} \right]^2} - 2.(2m + 1) - 2.2(m + 3) = 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 4m - 2 - 4m - 12 = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 3m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = - 3\) hoặc \(m = - 1\) là giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link