Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\) \((1)\)(với x là ẩn số) a) Giải phương

Câu hỏi số 668613:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\) \((1)\)(với x là ẩn số)

a) Giải phương trình (1) khi m = -2.

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

Phương pháp giải

a) Thay m = -2 vào phương trình.

Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng phương pháp nhẩm nghiệm:

a – b + c = 0 thì PT có một nghiệm là -1, nghiệm còn lại là \(\dfrac{{ - c}}{a}\)

b) Công thức \(\Delta ' = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} - a.c\)

Chứng minh \(\Delta > 0\) với mọi m

c) Hệ thức vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Biến đổi theo yêu cầu đề bài cho.

Giải chi tiết

a) Thay m = -2 vào phương trình (1) ta có:

\({x^2} - 2\left( { - 2 + 3} \right)x + 2.( - 2) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \dfrac{{ - c}}{a} = 3\end{array} \right.\).

Vậy khi m = -2 thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 2m - 1\\\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1\\\,\,\,\,\, = {m^2} + 4m + 8\\\,\,\,\,\, = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 \ge 4,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0,\forall m\).

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 3)\\{x_1}.{x_2} = 2m + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) - 2({x_1} + {x_2}) = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\\ \Leftrightarrow {\left[ {2(m + 3)} \right]^2} - 2.(2m + 1) - 2.2(m + 3) = 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 4m - 2 - 4m - 12 = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 3m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = - 3\) hoặc \(m = - 1\) là giá trị cần tìm.

Xem lời giải

Câu hỏi:668613

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.