Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao
Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD,BF,CE của ΔABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BEHD nội tiếp một đường tròn.
b) Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Kéo dài KE cắt đương tròn (O) tại điểm thứ hai I. Gọi N là giao điểm của CI và EF. Chứng minh CE2=CN.CI
c) Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi P là tâm đường trờn ngoại tiếp ΔAEF.
Chứng minh ba điểm M,N,P thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh BEHD có tổng hai góc đối bằng 180∘ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AEHF có tổng hai góc đối bằng 180∘ là tứ giác nội tiếp.
Suy ra hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF bằng nhau
Chứng minh ΔCEN∼ΔCIE(g.g) suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.
c) Chứng minh MP là trung trực của EF, N là trung điểm của EF
a) Do CE,AD,BF là các đường cao
⇒∠BEH=∠BDH=∠AFB=900
⇒∠BEH+∠BDH=900+900=1800
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác BEHD nội tiếp (đpcm)
b) Xét tứ giác AFHE có ∠BEH+∠AFH=900+900=1800
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AFHE nội tiếp (dhnb)
⇒∠HEF=HAF (góc nội tiếp cùng chắn cung HF)
Mà ∠HAF=∠KIC (góc nội tiếp cùng chắn cung KC)
⇒∠HEF=∠KIC(=HAF) hay ∠CEN=∠EIC
Xét ΔCNE và ΔCEI có:
∠ECI chung và ∠CEN=∠EIC(cmt)
⇒ΔCEN∼ΔCIE(g.g)⇒CECI=CNCE (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
⇔CE2=CI.CN (đpcm)
c) Ta có: PE = PF (do P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF)
⇒ P thuộc trung trực của EF.
ΔBEC vuông tại E có M là trung điểm của BC
⇒ME=MB=MC (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
ΔBFCvuông tại F có M là trung điểm của BC
⇒MF=MB=MC (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
=> ME=MF=MB=MC.
⇒M thuộc trung trực của EF.
=> PM là trung trực của EF (*)
Ta cần chứng minh N thuộc trung trực của EF.
Theo ý b) ta có: ΔCNE∼ΔCEI
⇒NEIE=NCCE⇒NE=IE.NCCE.
Xét tứ giác AEHF có: ∠AEH+∠AFH=900+900=1800
⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
⇒∠AHE=∠AFE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
⇒1800−∠AHE=1800−∠AFE⇒∠KHE=∠CFN.
Xét ΔCFN và ΔKHE có:
∠CFN=∠KHE(cmt)
∠FCN=∠HKE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI).
⇒ΔCFN∼ΔKHE(g.g)
⇒FNHE=CNKE⇒FN=HE.CNKE (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Khi đó ta có: NEFN=IE.NCCE:HE.CNKE=IE.NC.KECE.HE.CN=IE.KECE.HE(1).
+) Xét ΔIEA và ΔBEK có:
∠IEA=∠BEK (đối đỉnh)
∠IAE=∠BKE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI)
⇒ΔIEA∼ΔBEK(g.g)⇒IEBE=EAEK⇒IE.EK=EA.BE(2)
+) Xét ΔAEH và ΔCEB có:
∠EAH=∠ECB (cùng phụ với ∠ABC)
∠AEH=∠CEB=900 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI)
⇒ΔAEH∼ΔCEB(g.g)⇒AEEC=EHEB⇒EC.EH=EA.EB(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta có: NEFN=IE.KECE.HE=EA.BEEA.EB=1⇒NE=FN.
⇒N thuộc trung trực của EF (**)
Từ (*) và (**) => M, N, P thẳng hàng (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
