Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 670011:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \sqrt {3a + bc} + \sqrt {3b + ac} + \sqrt {3c + ab} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670011

Phương pháp giải

Thay \(a + b + c = 3\) vào biểu thức, biến đổi về dạng:

\(A = \sqrt {(a + b).(a + c)} + \sqrt {(a + b).(b + c)} + \sqrt {(a + c).(b + c)} \)

Sau đó áp dụng BĐT Cosi cho các số dương.

Giải chi tiết

Ta có:

\(A = \sqrt {3a + bc} + \sqrt {3b + ac} + \sqrt {3c + ab} \)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} + \sqrt {\left( {a + b + c} \right)b + ac} + \sqrt {\left( {a + b + c} \right)c + ab} \\A = \sqrt {\left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {ac + bc} \right)} + \sqrt {\left( {{b^2} + ab} \right) + \left( {bc + ac} \right)} + \sqrt {\left( {{c^2} + bc} \right) + \left( {ac + ab} \right)} \\A = \sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} + \sqrt {c\left( {b + c} \right) + a\left( {b + c} \right)} \\A = \sqrt {(a + b).(a + c)} + \sqrt {(a + b).(b + c)} + \sqrt {(a + c).(b + c)} \end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {(a + b).(a + c)} \le \dfrac{{(a + b) + (a + c)}}{2}\\\sqrt {(a + b).(b + c)} \le \dfrac{{(a + b) + (b + c)}}{2}\\\sqrt {(a + c).(b + c)} \le \dfrac{{(a + c) + (b + c)}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {(a + b).(a + c)} + \sqrt {(a + b).(b + c)} + \sqrt {(a + c).(b + c)} \\ \le \dfrac{{(a + b) + (a + c)}}{2} + \dfrac{{(a + b) + (b + c)}}{2} + \dfrac{{(a + c) + (b + c)}}{2}\\ \Rightarrow A \le \dfrac{{4a + 4b + 4c}}{2} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{2} = \dfrac{{4.3}}{2} = 6\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi \(a = b = c = 1\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.