Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và

Câu hỏi số 670642:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SB = a\sqrt 5 \).

a) Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông.

b) Tính góc giữa mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670642

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\,\,\forall a \in \left( P \right)\).

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

c) Đổi khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\left( {SCD} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(HK//AD//BC \Rightarrow CD \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH\).

Xét tam giác vuông \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(SHK\) ta có : \(\tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \angle SKH = {45^0}\).

c) Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HM \bot SK\,\,\left( {M \in SK} \right)\) ta có: \(CD \bot \left( {SHK} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot HM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CD\\HM \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Do \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(HM = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2\sqrt 2 a}} = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.