Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc

Câu hỏi số 673523:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng đáy bằng 60°. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

$\dfrac{{43\pi {a^2}}}{9}.$

$\dfrac{{43\pi {a^2}}}{3}.$

$\dfrac{{86\pi {a^2}}}{3}.$

$\dfrac{{43\pi {a^2}}}{6}.$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:673523

Phương pháp giải

Xác định điểm $K$ cách đều 4 điểm S,A,B,C, khi đó $K$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4\pi {R^2}$ .

Giải chi tiết

Gọi $G$ trọng tâm tam giác đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên $BC \bot AI$ , lại có $BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{AI \bot BC,AI \subset \left( {ABC} \right)}\\{SI \bot BC,SI \subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.$ nên góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa SI và AI

Hay $\widehat {SIA} = {60^\circ }.$

Xét tam giác SAI vuông tại $A$ ta có: $SA = AI.\tan {60^\circ } = 3a$

$\Rightarrow KG = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}$

Qua $G$ ta dựng đường thẳng $\Delta \bot \left( {ABC} \right)$ .

Dựng trung trực SA cắt đường thẳng $\Delta$ tại $K$ ,

khi đó $KS = KA = KB = KC$ nên $K$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Ta có $R = KA = \sqrt {K{G^2} + A{G^2}} = a.\sqrt {\dfrac{{43}}{{12}}}$ .

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = \dfrac{{43\pi {a^2}}}{3} \cdot$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.