Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)(AB < AC)\). Các đường

Câu hỏi số 676597:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)(AB < AC)\). Các đường cao \(BD,CE\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp.
b) Đường thẳng \(ED\) cắt tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M,N(M\) nằm giữa \(D\) và \(K)\). So sánh \(\angle {KNC}\) với \(\angle {KCM}\) và chứng minh \(K{C^2} = KM.KN\).
c) Kẻ đường kính \(AQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(MN\) tại \(P\). Chứng minh \(QM = QN\).

d) Gọi \(F,I\) lần lượt là giao điểm của hai tia \(AH,HQ\) với \(BC\). Chứng minh \(\dfrac{{{S_{HDE}}}}{{{S_{ABC}}}} > \dfrac{{D{E^2}}}{{3B{C^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:676597

Phương pháp giải

- Tứ giác \(ADHE\) có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp.

- So sánh \(\angle {KNC}\) với \(\angle {KCM}\) bằng cách so sánh với số đo cung CM.

- Chứng minh \(K{C^2} = KM.KN\) bằng cách chứng minh hai tam giác \(KCM\) và \(KNC\) đồng dạng.

- Chứng minh AQ là trung trực của MN để kết luận \(QM = QN\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

Vi \(BD \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ADB = {90^ \circ },CE \bot AB \Rightarrow \angle AEH = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \angle ADH + \angle AEH = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\)

=> ADHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^ \circ }\) ).
b) Đường thẳng \({\rm{ED}}\) cắt tiếp tuyến tại \(C\) của đurờng tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M,N(M\) nằm giữa \(D\) và \(K\) ). So sánh \(\angle KNC\) với \(\angle KCM\) và chứng minh \(K{C^2} = KM.KN\).
+) So sánh \(\angle KNC\) với \(\angle KCM\)
Ta có: \(\angle KCM = \dfrac{1}{2}sdcCM\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\angle KNC = \dfrac{1}{2}sdcCM\) (góc nội tiếp chắn cung CM)

\( \Rightarrow \angle KNC = \angle KCM\)

+) Chứng minh \(K{C^2} = KM \cdot KN\)
Xét tam gíac \(KCM\) và tam giác \(KNC\) có:

\(\angle CKN\) chung

\(\angle KCM = \angle KNC\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KC}} = \dfrac{{KC}}{{KN}} \Rightarrow K{C^2} = KM \cdot KN\left( {{\rm{dpcm}}} \right)\)

c) Ta có : \({\rm{\;}}\angle {BEC} = \angle {BOC} = {90^ \circ }\)
\( \to \) Tứ giác BCDE nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle {ABC} = \angle {ADE}\) (cùng bù \(\angle {EDC})\)
Có: \(\angle {CAQ} = \angle {CBQ}\) (cùng chắn cung \(CQ\) )
\( \Rightarrow {\rm{\;}}\angle {ABC} + \angle {CBQ} = \angle {ADE} + \angle {CAQ}\)
\( \Rightarrow \angle {ADE} + \angle {CAQ} = \angle {ABQ} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vuông tại P.
\( \Rightarrow AQ \bot MN \Rightarrow P\) là trung điểm \(MN\)

\( \Rightarrow \) AQ là trung trực của MN

\( \Rightarrow \) NQ = MQ

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link