1. Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).a) Giải phương trình khi \(m = 0.\)b) Tìm

Câu hỏi số 676613:

Vận dụng

1. Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số).

a) Giải phương trình khi \(m = 0.\)

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(600\,{{\rm{m}}^2}.\) Biết rằng nếu tăng chiều dài \(10\,{\rm{m}}\) và giảm chiều rộng \(5\,{\rm{m}}\) thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Xem lời giải

Câu hỏi:676613

Phương pháp giải

1. a) Thay \(m = 0\) vào phương trình ban đầu để giải.

b) Áp dụng hệ thức vi-et \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

2. Gọi chiều rộng ban đầu là x, từ đó tìm được chiều rộng và chiều dài lúc sau. Diện tích không đổi nên phương trình là chiều dài nhân với chiều rộng bằng 600.

Giải chi tiết

1. Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) (m là tham số).
a) Giải phương trình khi \(m = 0\).

Với \(m = 0\) ta có: \({x^2} - 2x - 3 = 0\)
Vi \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) - 3 = 0\) nên phương trình có 1 nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \dfrac{c}{a} = 3\).
Vậy với \(m = 0\) thì phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - 1;3} \right\}\).
b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = {x_1}{\;^2} + {x_1}{\;^2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\) dạt giá trị nhỏ nhất.

Xét phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) :
Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {1^2} - \left( {m - 3} \right) = 4 - m\)
Phương trình có 2 nghiệm khi và chi khi \({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow 4 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 4\)
Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)
Từ giả thiết: \(P = x_1^2 + x_1^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)
Suy ra:

\(\begin{array}{*{20}{r}}P&{\; = {2^2} - 2\left( {m - 3} \right) + {{(m - 3)}^2}}\\{}&{\; = 4 - 2m + 6 + {m^2} - 6m + 9}\\{}&{\; = {m^2} - 8m + 19}\\{}&{\; = {m^2} - 8m + 16 + 3}\\{}&{\; = {{(m - 4)}^2} + 3 \ge 3}\end{array}\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 3 khi \({(m - 4)^2} = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
Vậy với \(m = 4\) thì biểu thức \(P = x_1^2 + x_1^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3.

2. Gọi chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là \(x\,\,\left( {\rm{m}} \right),\) \(x > 5.\)

Suy ra chiều dài khu vườn là \(\dfrac{{600}}{x}\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \(\dfrac{{600}}{x} + 10\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Chiều rộng khu vườn sau khi giảm là \(x - 5\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Diện tích khu vườn sau khi tăng chiều dài \(10\,{\rm{m}}\) và giảm chiều rộng \(5\,{\rm{m}}\) thì không đổi nên ta có phương trình

\(\left( {\dfrac{{600}}{x} + 10} \right)\left( {x - 5} \right) = 600.\)

\( \Leftrightarrow \left( {600 + 10x} \right)\left( {x - 5} \right) = 600x \Leftrightarrow 10{x^2} - 50x - 3000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\\x = - 15\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right..\)

Vậy chiều dài mảnh vườn là \(30\,\,\left( {\rm{m}} \right),\) chiều rộng mảnh vườn là \(20\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.