Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - x + m - 2 = 0\)a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 680749:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - x + m - 2 = 0\)
a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 3m\)
b) Khi \(m = 1\), gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Tính giá trị biểu thức \(S = \dfrac{{2023}}{{x_1^7 + 7}} + \dfrac{{2023}}{{x_2^7 + 7}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680749

Phương pháp giải

Áp dụng định lí vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) +) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:

\({\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\)

+) Áp dụng định lí vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m - 2}\end{array}} \right.\)

+) Khi đó \(x_1^2 + x_2^2 = 3m \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3m\)

\(\; \Leftrightarrow 1 - 2\left( {m - 2} \right) = 3m \Leftrightarrow 5m = 5 \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn)

b) +) Với \(m = 1\) phương trình trở thành \({x^2} - x - 1 = 0\)

+) Theo định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

\(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {1^2} - 2.( - 1) = 3\)

\(x_1^3 + x_2^3 = {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = {1^3} - 3.( - 1).1 = 4\)

\(x_1^5 + x_2^5 = (x_1^3 + x_2^3)(x_1^2 + x_2^2) - x_1^2x_2^2({x_1} + {x_2}) = 11\)

\(x_1^7 + x_2^7 = (x_1^5 + x_2^5)(x_1^2 + x_2^2) - x_1^2x_2^2(x_1^3 + x_2^3) = 29\)

Khi đó \(S = \dfrac{{2023}}{{x_1^7 + 7}} + \dfrac{{2023}}{{x_2^7 + 7}} = \dfrac{{2023\left( {x_1^7 + x_2^7} \right) + 14.2023}}{{x_1^7x_2^7 + 7\left( {x_1^7 + x_2^7} \right) + 49}}\)\( = \dfrac{{2023.29 + 14.2023}}{{ - 1 + 7.29 + 49}} = \dfrac{{86989}}{{251}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link