Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - x + m - 2 = 0\)a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 680749:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - x + m - 2 = 0\)
a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 3m\)
b) Khi \(m = 1\), gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Tính giá trị biểu thức \(S = \dfrac{{2023}}{{x_1^7 + 7}} + \dfrac{{2023}}{{x_2^7 + 7}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680749

Phương pháp giải

Áp dụng định lí vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) +) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:

\({\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\)

+) Áp dụng định lí vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m - 2}\end{array}} \right.\)

+) Khi đó \(x_1^2 + x_2^2 = 3m \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 3m\)

\(\; \Leftrightarrow 1 - 2\left( {m - 2} \right) = 3m \Leftrightarrow 5m = 5 \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn)

b) +) Với \(m = 1\) phương trình trở thành \({x^2} - x - 1 = 0\)

+) Theo định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\)

\(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {1^2} - 2.( - 1) = 3\)

\(x_1^3 + x_2^3 = {({x_1} + {x_2})^3} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = {1^3} - 3.( - 1).1 = 4\)

\(x_1^5 + x_2^5 = (x_1^3 + x_2^3)(x_1^2 + x_2^2) - x_1^2x_2^2({x_1} + {x_2}) = 11\)

\(x_1^7 + x_2^7 = (x_1^5 + x_2^5)(x_1^2 + x_2^2) - x_1^2x_2^2(x_1^3 + x_2^3) = 29\)

Khi đó \(S = \dfrac{{2023}}{{x_1^7 + 7}} + \dfrac{{2023}}{{x_2^7 + 7}} = \dfrac{{2023\left( {x_1^7 + x_2^7} \right) + 14.2023}}{{x_1^7x_2^7 + 7\left( {x_1^7 + x_2^7} \right) + 49}}\)\( = \dfrac{{2023.29 + 14.2023}}{{ - 1 + 7.29 + 49}} = \dfrac{{86989}}{{251}}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link