Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz.\) Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 681059:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz.\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681059

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si.

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(x + y + z = xyz\), ta có \(\dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} = 1\) .

Đặt \(a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow a,b,c > 0\) ;

Giả thiết trở thành: \(ab + bc + ca = 1;\,P = \dfrac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}\)

Để ý rằng:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\\{b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca = \left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\\{c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\end{array}\)

Lúc này ta có:

\(P = \dfrac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}\)

\( = \sqrt {\dfrac{a}{{a + b}}} .\sqrt {\dfrac{a}{{a + c}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{b + c}}} .\sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{c + a}}} .\sqrt {\dfrac{c}{{c + b}}} \).

Theo bất đẳng thức Cô – si (AM-GM), ta có:

\(P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{b}{{b + a}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{c}{{c + b}}} \right)\) hay \(P \le \dfrac{3}{2}\).

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,{\rm{hay}}\,\,x = y = z = \sqrt 3 \)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{3}{2}\) đạt được khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link