Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz.\) Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 681059:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz.\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681059

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si.

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(x + y + z = xyz\), ta có \(\dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{xz}} = 1\) .

Đặt \(a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow a,b,c > 0\) ;

Giả thiết trở thành: \(ab + bc + ca = 1;\,P = \dfrac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}\)

Để ý rằng:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\\{b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca = \left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\\{c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\end{array}\)

Lúc này ta có:

\(P = \dfrac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}\)

\( = \sqrt {\dfrac{a}{{a + b}}} .\sqrt {\dfrac{a}{{a + c}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{b + c}}} .\sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{c + a}}} .\sqrt {\dfrac{c}{{c + b}}} \).

Theo bất đẳng thức Cô – si (AM-GM), ta có:

\(P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{a}{{a + c}} + \dfrac{b}{{b + a}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{c}{{c + b}}} \right)\) hay \(P \le \dfrac{3}{2}\).

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,{\rm{hay}}\,\,x = y = z = \sqrt 3 \)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{3}{2}\) đạt được khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link