Cho hai đường tròn $\left( {{O_1};10} \right)$ và $\left( {{O_2};6} \right)$ cắt nhau tại hai

Câu hỏi số 689361:

Vận dụng

Cho hai đường tròn $\left( {{O_1};10} \right)$ và $\left( {{O_2};6} \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ là một đường kính của đường tròn $\left( {{O_2};6} \right)$. Gọi $\left( D \right)$ là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn. Quay $\left( D \right)$ quanh trục ${O_1}{O_2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành.

A. $V = 36\pi $

B. $V = \dfrac{{68\pi }}{3}$

C. $V = \dfrac{{320}}{3}$

D. $V = \dfrac{{320\pi }}{3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:689361

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ, xác định các phương trình từ đó tính thể tích bằng tích phân

Giải chi tiết

Chọn hệ tọa độ Oxy với $\mathrm{O}_2 \equiv \mathrm{O}, \mathrm{O}_2 \mathrm{C} \equiv \mathrm{Ox}, \mathrm{O}_2 \mathrm{~A} \equiv \mathrm{Oy}$.

Cạnh $O_1 O_2=\sqrt{O_1 A^2-O_2 A^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8 \Rightarrow\left(O_1\right):(x+8)^2+y^2=100$.

Phương trình đường tròn $\left(\mathrm{O}_2\right): x^2+y^2=36$.

Kí hiệu $\left(H_1\right)$ là hình phẳng giới hạn bới các đường $y=\sqrt{100-(x+8)^2}$, trục $O x, x=0, x=2$.

Kí hiệu $\left(H_2\right)$ là hình phẳng giới hạn bới các đường $y=\sqrt{36-x^2}$, trục $O x, x=0, x=6$.

Khi đó thể tích $V$ cần tính chính bằng thể tích $V_2$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left(H_2\right)$ xung quanh trục $O x$ trừ đi thể tích $V_1$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left(H_1\right)$ xung quanh truc $O x$.

Ta có $V_2=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \pi r^3=\dfrac{2}{3} \pi \cdot 6^3=144 \pi$.

Lại có $V_1=\pi \int_0^2 y^2 \mathrm{~d} x=\pi \int_0^2\left[100-(x+8)^2\right] \mathrm{d} x=\dfrac{112 \pi}{3}$.

Do đó $V=V_2-V_1=144 \pi-\dfrac{112 \pi}{3}=\dfrac{320 \pi}{3}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.