Cho thấu kính hội tụ có quang tâm O, tiêu cự f xác định và vật nhỏ AB có dạng một đoạn

Câu hỏi số 694615:

Vận dụng cao

Cho thấu kính hội tụ có quang tâm O, tiêu cự f xác định và vật nhỏ AB có dạng một đoạn thẳng đặt vuông góc với trục chính, điểm A nằm trên trục chính. A’B’ trên hình 4 là ảnh thật của AB qua thấu kính. Đặt AF = a; A’F’ = b.

1) Dựng hình xác định vị trí của vật AB.

2) Chứng minh rằng tích a.b không phụ thuộc vào khoảng cách từ vật đến thấu kính.

3) Cố định thấu kính, tại thời điểm t = 0, cho vật AB dịch chuyển với tôc độ không đổi v = 2 cm/s ra xa thấu kính sao cho AB luôn vuông góc với trục chính và A luôn thuộc trục chính. Biết rằng:

+ Tại thời điểm \({t_1} = 3\,\,s\), ảnh của AB là \({A_1}{B_1}\) với \(A'{A_1} = 15\,\,cm\).

+ Tại thời điểm \({t_2} = 11\,\,s\), ảnh của AB là \({A_2}{B_2}\) với \(A'{A_2} = 27,5\,\,cm\).

a) Tìm f.

b) Gọi \({t_3}\) là thời điểm khoảng cách giữa vật và ảnh nhỏ nhất. Từ thời điểm \({t_1}\) đến thời điểm \({t_3}\), ảnh của điểm A có tốc độ trung bình bằng bao nhiêu?

Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng hoặc không sử dụng công thức thấu kính: \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}}\) và công thức tỉ số chiều cao của ảnh so với chiều cao của vật: \(\dfrac{{h'}}{h} = \left| {\dfrac{{d'}}{d}} \right|\).

Xem lời giải

Câu hỏi:694615

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dựng ảnh của vật qua thấu kính hội tụ

Giải chi tiết

1) Ta có hình vẽ:

2) Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}AF = a = AO - FO = d - f\\A'F' = b = A'O - F'O = d' - f\end{array}\)

Ta có tích:

\(a.b = \left( {d - f} \right).\left( {d' - f} \right) = d.d' - f\left( {d + d'} \right) + {f^2}\)

Từ công thức thấu kính ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}} = \dfrac{1}{f} \Rightarrow \dfrac{{d + d'}}{{dd'}} = \dfrac{1}{f}\\ \Rightarrow dd' = f\left( {d + d'} \right) \Rightarrow a.b = {f^2}\end{array}\)

Vậy tích a.b không phụ thuộc vào khoảng cách từ vật đến thấu kính (đpcm)

3) Gọi khoảng cách ban đầu từ A đến thấu kính là \({d_0}\)

Khoảng cách từ A đến thấu kính sau thời gian t là:

\(d = {d_0} + 2t\)

Khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là:

\(d' = \dfrac{{df}}{{d - f}} = \dfrac{{f\left( {{d_0} + 2t} \right)}}{{{d_0} + 2t - f}}\)

Nhận xét: ảnh dịch chuyển cùng chiều với vật → khi khoảng cách từ vật đến thấu kính tăng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính giảm

Tại thời điểm \({t_1} = 3\,\,s\), ta có:

\(\begin{array}{l}A'{A_1} = 15\left( {cm} \right) \Rightarrow d' - {d_1}' = 15\\ \Rightarrow \dfrac{{f{d_0}}}{{{d_0} - f}} - \dfrac{{f\left( {{d_0} + 6} \right)}}{{{d_0} - f + 6}} = 15\\ \Rightarrow \left( {{d_0} - f} \right)\left( {9f - 15{d_0} - 90} \right) = - 6{d_0}f\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Tại thời điểm \({t_2} = 11\,\,s\), ta có:

\(\begin{array}{l}A'{A_2} = 27,5\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow d' - {d_2}' = 27,5\\ \Rightarrow \dfrac{{f{d_0}}}{{{d_0} - f}} - \dfrac{{f\left( {{d_0} + 22} \right)}}{{{d_0} - f + 22}} = 27,5\\ \Rightarrow \left( {{d_0} - f} \right)\left( {5,5f - 27,5{d_0} - 605} \right) = - 22{d_0}f\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Chia hai vế phương trình (1) và (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{5,5f - 27,5{d_0} - 605}}{{9f - 15{d_0} - 90}} = \dfrac{{22}}{6}\\ \Rightarrow {d_0} - f = 10 \Rightarrow {d_0} = 10 + f\end{array}\)

Thay vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{d_0}f}}{{10}} - \dfrac{{f\left( {{d_0} + 6} \right)}}{{16}} = 15\\ \Rightarrow 6{d_0}f - 60f = 2400\\ \Rightarrow 6f\left( {10 + f} \right) - 60f = 2400\\ \Rightarrow 6{f^2} = 2400 \Rightarrow f = 20\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

b) Khoảng cách từ vật đến thấu kính ban đầu là:

\({d_0} = 10 + f = 10 + 20 = 30\,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách giữa vật và ảnh là:

\(\begin{array}{l}L = d + d' = d + \dfrac{{df}}{{d - f}} = \dfrac{{{d^2}}}{{d - f}}\\ \Rightarrow {d^2} - Ld + Lf = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để phương trình (*) có nghiệm, ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta \ge 0 \Rightarrow {L^2} - 4Lf \ge 0\\ \Rightarrow L\left( {L - 4f} \right) \ge 0 \Rightarrow L \ge 4f\\ \Rightarrow {L_{\min }} = 4f \Leftrightarrow {d_3} = {d_3}' = 2f = 40\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Thời điểm khoảng cách giữa vật và ảnh nhỏ nhất là:

\({t_3} = \dfrac{{d - {d_0}}}{v} = \dfrac{{40 - 30}}{2} = 5\,\,\left( s \right)\)

Khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tại thời điểm \({t_1}\) là:

\({d_1}' = \dfrac{{f\left( {{d_0} + 6} \right)}}{{{d_0} + 6 - f}} = \dfrac{{20.\left( {30 + 6} \right)}}{{30 + 6 - 20}} = 45\,\,\left( {cm} \right)\)

Tốc độ trung bình của ảnh trong khoảng thời gian từ \({t_1}\) đến \({t_3}\) là:

\(v' = \dfrac{{\left| {{d_3}' - {d_1}'} \right|}}{{{t_3} - {t_1}}} = \dfrac{{\left| {40 - 45} \right|}}{{5 - 3}} = 2,5\,\,\left( {cm/s} \right)\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.