Đường thẳng \(y = kx + 4\) cắt parabol \(y = {(x - 2)^2}\) tại hai điểm phân biệt và diện tích các

Câu hỏi số 707448:

Vận dụng

Đường thẳng \(y = kx + 4\) cắt parabol \(y = {(x - 2)^2}\) tại hai điểm phân biệt và diện tích các hình phẳng \({S_1},{S_2}\) bằng nhau như hình vẽ bên ( \({S_1},{S_2}\) là phần đánh dấu trong hình vẽ).

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(k \in \left( { - 4; - 2} \right)\).

B. \(k \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

C. \( - k \in \left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).

D. \(k \in \left( { - 2; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707448

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}kx + 4 = {(x - 2)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = kx + 4\end{array}\).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = k + 4}\end{array}} \right.\)

Theo hình vẽ ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k + 4 > 2}\\{k < 0}\end{array} \Leftrightarrow - 2 < k < 0} \right.\).

Đường thẳng \(y = kx + 4\) cắt trục hoành tại điểm \(A\left( { - \dfrac{4}{k};0} \right)\), cắt trục tung tại điểm \(B\left( {0;4} \right)\).

Ta có: \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2} . \left( { - \dfrac{4}{k}} \right) . 4 = - \dfrac{8}{k}\).

Gọi \({S_3}\) là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {(x - 2)^2}\), trục tung và trục hoành.

Suy ra: \({S_3} = \int\limits_0^2 {{{(x - 2)}^2}} dx = \dfrac{8}{3}\).

Ta có \({S_1} + {S_2} = {S_{\Delta OAB}} - {S_3} = - \dfrac{8}{k} - \dfrac{8}{3}\).

Theo bài ra \({S_1} = {S_2}\) nên \({S_1} = {S_2} = \dfrac{{ - 4}}{k} - \dfrac{4}{3}\).

Ta lại có:

\( = k\dfrac{{{{(k + 4)}^2}}}{2} + 4\left( {k + 4} \right) - \dfrac{{{{(k + 4 - 2)}^3}}}{3} - \dfrac{8}{3}\).

Do đó: \(\dfrac{{ - 4}}{k} - \dfrac{4}{3} = k\dfrac{{{{(k + 4)}^2}}}{2} + 4\left( {k + 4} \right) - \dfrac{{{{(k + 2)}^3}}}{3} - \dfrac{8}{3}\).

\( \Leftrightarrow - 24 - 8k = 3{k^2}{(k + 4)^2} + 24k\left( {k + 4} \right) - 2k{(k + 2)^3} - 16k\).

\( \Leftrightarrow - 24 - 8k = 3{k^2}\left( {{k^2} + 8k + 16} \right) + 24{k^2} + 96k - 2k\left( {{k^3} + 6{k^2} + 12k + 8} \right) - 16k\).

\( \Leftrightarrow - 24 - 8k = 3{k^4} + 24{k^3} + 48{k^2} + 24{k^2} + 96k - 2{k^4} - 12{k^3} - 24{k^2} - 16k - 16k\).

\( \Leftrightarrow {k^4} + 12{k^3} + 48{k^2} + 72k + 24 = 0\).

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \approx - 5,54\left( L \right)}\\{k \approx - 0,46\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.