Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( {0;0;3} \right)$ và $B\left( {2; - 3; - 5} \right)$ . Gọi

Câu hỏi số 707449:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( {0;0;3} \right)$ và $B\left( {2; - 3; - 5} \right)$ . Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25$ với $\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0.M,N$ là hai điểm thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MN = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $AM + BN$ là

\sqrt{78 - 2 \sqrt{13}}

$\sqrt {78 - 2\sqrt {13} }$ .

\sqrt{78 - \sqrt{13}}

$\sqrt {78 - \sqrt {13} }$

C. 34 .

8 \sqrt{2}

$8\sqrt 2$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707449

Giải chi tiết

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{S_1}} \right):{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 3)}^2} = 25}\\{\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0}\end{array}} \right.$ .

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 6z - 14 = 0}\\{\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0}\end{array}} \right.$

Lấy (1)-(2) $\Rightarrow 6z = 0 \Leftrightarrow z = 0$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng giao tuyến của $\left( {{S_1}} \right)$ và $\left( {{S_2}} \right)$ là

$\left( P \right):z = 0 \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right)$ . Ta có điểm $A,B$ nằm khác phía so với $\left( P \right)$ .

Gọi $O,H$ lần lượt là hình chiếu kẻ từ điểm $A$ và $B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ .

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O\left( {0;0;0} \right)}\\{H\left( {2; - 3;0} \right)}\end{array}} \right.$ .

Lấy $A'$ sao cho $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN}$ .

Khi đó $AM + BN = A'N + BN \ge A'B$ .

Dấu " $=$ " chỉ xảy ra khi $\overrightarrow {MN}$ cùng phương $\overrightarrow {OH}$ .

Trường hợp 1: Lấy $\overrightarrow {MN} = \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }};\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {13} }};0} \right)$ .

Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN}$ nên $A'\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }};\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {13} }};3} \right)$ .

Do đó $AM + BN = A'N + BN \ge A'B \approx 8,4136$

Trường hợp 2: Lấy $\overrightarrow {MN} = - \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }};\dfrac{3}{{\sqrt {13} }};0} \right)$ .

Vì $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN}$ nên $A'\left( {\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }};\dfrac{3}{{\sqrt {13} }};3} \right)$ .

Do đó $AM + BN = A'N + BN \ge A'B \approx 9,231$

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của $AM + BN$ là $\sqrt {78 - 2\sqrt {13} } \approx 8,4136$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.