Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 3; - 5} \right)\). Gọi

Câu hỏi số 707449:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 3; - 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25\) với \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0.M,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

A. \(\sqrt {78 - 2\sqrt {13} } \).

B. \(\sqrt {78 - \sqrt {13} } \)

C. 34 .

D. \(8\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707449

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{S_1}} \right):{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 3)}^2} = 25}\\{\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0}\end{array}} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 6z - 14 = 0}\\{\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0}\end{array}} \right.\)

Lấy (1)-(2) \( \Rightarrow 6z = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng giao tuyến của \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) là

\(\left( P \right):z = 0 \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\). Ta có điểm \(A,B\) nằm khác phía so với \(\left( P \right)\).

Gọi \(O,H\) lần lượt là hình chiếu kẻ từ điểm \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O\left( {0;0;0} \right)}\\{H\left( {2; - 3;0} \right)}\end{array}} \right.\).

Lấy \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \).

Khi đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B\).

Dấu " \( = \) " chỉ xảy ra khi \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương \(\overrightarrow {OH} \).

Trường hợp 1: Lấy \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }};\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {13} }};0} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(A'\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {13} }};\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {13} }};3} \right)\).

Do đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B \approx 8,4136\)

Trường hợp 2: Lấy \(\overrightarrow {MN} = - \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }};\dfrac{3}{{\sqrt {13} }};0} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(A'\left( {\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }};\dfrac{3}{{\sqrt {13} }};3} \right)\).

Do đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B \approx 9,231\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là \(\sqrt {78 - 2\sqrt {13} } \approx 8,4136\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.