Xét các số phức \(z\) thỏa \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\sqrt 5 \) và số phức \(w\) thỏa mãn

Câu hỏi số 707450:

Vận dụng

Xét các số phức \(z\) thỏa \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 2\sqrt 5 \) và số phức \(w\) thỏa mãn \(\left( {5 + 10i} \right).\overline w = \left( {3 - 4i} \right) . z - 25i\) . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| w \right|\) bằng.

A. \(4\sqrt 5 \).

B. 4 .

C. \(2\sqrt {10} \).

D. 6 .

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707450

Giải chi tiết

\(z = \dfrac{{\left( {5 + 10i} \right).\overline w + 25i}}{{3 - 4i}} \Leftrightarrow z - 1 + 2i = \dfrac{{\left( {5 + 10i} \right) . \overline w + 25i}}{{3 - 4i}} - 1 + 2i\)

\( \Rightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right| = \left| {\dfrac{{\left( {5 + 10i} \right) . \overline w + 25i}}{{3 - 4i}} - 1 + 2i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {\left( {5 + 10i} \right)\overline w + 25i + \left( {3 - 4i} \right) . \left( { - 1 + 2i} \right)} \right| = 2\sqrt 5 . \left| {3 - 4i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {\overline w + \dfrac{{5 + 35i}}{{5 + 10i}}} \right| = \dfrac{{10\sqrt 5 }}{{\left| {5 + 10i} \right|}} \Leftrightarrow \left| {\overline w + 3 + i} \right| = 2\)

Gọi \(w = x + yi \Rightarrow {(x + 3)^2} + {( - y + 1)^2} = 4 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 4\)

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(w\)

\( \Rightarrow \)Qũy tích điểm M là đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

\( \Rightarrow P = \left| w \right| = OM\). Biểu thức đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{P_{{\rm{min}}}} = \left| {OI - R} \right| = - 2 + \sqrt {10} }\\{{P_{{\rm{max}}}} = OI + R = 2 + \sqrt {10} }\end{array} \Rightarrow S = {P_{{\rm{min}}}} + {P_{{\rm{max}}}} = 2\sqrt {10} } \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.