Cho lăng trụ \(ABC . A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm

Câu hỏi số 707451:

Vận dụng

Cho lăng trụ \(ABC . A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích khối chóp \(B'.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707451

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'G \bot BC\left( {A'G \bot \left( {ABC} \right)} \right)}\\{AM \bot BC}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)} \right.\).

Dựng \(MH \bot AA',H \in AA'\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MH \bot BC}\\{MH \bot AA'}\end{array} \Rightarrow MH} \right.\) là đoạn vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\).

\( \Rightarrow MH = d\left( {AA',BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \({\rm{sin}}\angle {A'AM} = \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \overline {A'AM} = {30^ \circ }\).

\( \Rightarrow A'G = AG . {\rm{tan}}\overline {A'AM} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} . {\rm{tan}}{30^ \circ } = \dfrac{a}{3}\).

Vậy thể tích khối chóp \(B'.ABC:V = \dfrac{1}{3} . \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} . \dfrac{a}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.