Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4z + 8 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q

Câu hỏi số 707452:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4z + 8 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):3x - 4z - 12 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua gốc tọa độ \(O\) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng khi \(\left( S \right)\) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(r\). Tính \(T = 25\left( {a + c + \dfrac{r}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

A. 43 .

B. \(5\sqrt 6 \).

C. 18 .

D. \(8\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707452

Giải chi tiết

Giả sử \(S)\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\), tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) lần lượt tại \(M,N\)

Nhận thấy \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) và khoảng cách giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng 4 .

Suy ra: \(MN = 2IM = 2IN = 4 \Rightarrow R = 2\).

Mà \(O \in \left( S \right)\) nên \(IO = 2\)

\( \Rightarrow I\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(O\), bán kính bằng 2 .

Mặt khác \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)\) nên

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3x - 4z + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {3x - 4z - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }}\)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{ \Leftrightarrow 3x - 4z - 2 = 0.{\rm{\;}}\left( 2 \right)}\end{array}\)

\( \Rightarrow I\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 4z - 2 = 0\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(I\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) và \({\rm{mp}}\left( \alpha \right)\).

Khi đó: \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\left( \alpha \right)\).

Phương trình đường thẳng \(OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = 0}\\{z = - 4t}\end{array}} \right.\).

Do \(H \in \left( \alpha \right)\) nên: \(9t + 16t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{25}}\).

Suy ra: \(H \in \left( {\dfrac{6}{{25}};0; - \dfrac{8}{{25}}} \right)\).

Ta có: \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{2}{5} \Rightarrow r = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}\).

Vậy \(T = 25\left( {a + c + \dfrac{r}{{\sqrt 6 }}} \right) = 25\left( {\dfrac{6}{{25}} - \dfrac{8}{{25}} + \dfrac{4}{5}} \right) = 18\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.