Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x - 4z + 8 = 0$ và mặt phẳng \(\left( Q

Câu hỏi số 707452:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x - 4z + 8 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):3x - 4z - 12 = 0$ . Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ . Biết rằng khi $\left( S \right)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $H\left( {a;b;c} \right)$ , bán kính $r$ . Tính $T = 25\left( {a + c + \dfrac{r}{{\sqrt 6 }}} \right)$ .

A. 43 .

5 \sqrt{6}

$5\sqrt 6$ .

C. 18 .

8 \sqrt{6}

$8\sqrt 6$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707452

Giải chi tiết

Giả sử $S)$ có tâm $I$ và bán kính $R$ , tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ lần lượt tại $M,N$

Nhận thấy $\left( P \right)//\left( Q \right)$ và khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng 4 .

Suy ra: $MN = 2IM = 2IN = 4 \Rightarrow R = 2$ .

Mà $O \in \left( S \right)$ nên $IO = 2$

$\Rightarrow I$ thuộc mặt cầu $\left( {S'} \right)$ có tâm $O$ , bán kính bằng 2 .

Mặt khác $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)$ nên

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3x - 4z + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {3x - 4z - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }}$

$\begin{array}{*{20}{c}}{ \Leftrightarrow 3x - 4z - 2 = 0.{\rm{\;}}\left( 2 \right)}\end{array}$

$\Rightarrow I$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x - 4z - 2 = 0$

Từ (1) và (2) suy ra: $I$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( {S'} \right)$ và ${\rm{mp}}\left( \alpha \right)$ .

Khi đó: $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\left( \alpha \right)$ .

Phương trình đường thẳng $OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = 0}\\{z = - 4t}\end{array}} \right.$ .

Do $H \in \left( \alpha \right)$ nên: $9t + 16t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{25}}$ .

Suy ra: $H \in \left( {\dfrac{6}{{25}};0; - \dfrac{8}{{25}}} \right)$ .

Ta có: $d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{2}{5} \Rightarrow r = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}$ .

Vậy $T = 25\left( {a + c + \dfrac{r}{{\sqrt 6 }}} \right) = 25\left( {\dfrac{6}{{25}} - \dfrac{8}{{25}} + \dfrac{4}{5}} \right) = 18$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.