Xét các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x + y + x \cdot {3^{2x + y - 1}} \ge 1$ (1). Khi biểu thức

Câu hỏi số 707688:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x + y + x \cdot {3^{2x + y - 1}} \ge 1$ (1). Khi biểu thức $P = {x^2} + 5{y^2} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{9}{2}y + \dfrac{9}{8}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $2x + y$ bằng

$- \dfrac{3}{4}$ .

$\dfrac{3}{4}$ .

C. -1.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707688

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x\left( {{3^{2x + y - 1}} - 1} \right) + 2x + y - 1 \ge 0\left( {\rm{*}} \right)$ .

Do ${3^{2x + y - 1}} - {3^0}$ cùng dấu với $\left( {2x + y - 1} \right) - 0$ và $x$ không âm nên $\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right) \Leftrightarrow 2x + y - 1 \ge 0$ $\Leftrightarrow 2x + y \ge 1$ .

Lại có $P = {x^2} + 5{y^2} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{9}{2}y + \dfrac{9}{8} = {\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + {(2y - 1)^2} \ge {\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2}$ . .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có

${\left[ {2\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right) + \left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)} \right]^2} \le \left( {4 + 1} \right)\left[ {{{\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right)}^2} + {{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)}^2}} \right] \le 5P$ uy ra ${\left( {2x + y + \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le 5P \Leftrightarrow {\left( {1 + \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le 5P \Leftrightarrow P \ge \dfrac{5}{{16}}$ .

Vậy ${P_{{\rm{min}}}} = \dfrac{5}{{16}} \Leftrightarrow 2x + y = 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.