Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9\) và điểm

Câu hỏi số 707689:

Vận dụng

Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\). Từ điểm \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) với mặt cầu \(\left( S \right)\). Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị của \(a + b + 3c\) bằng

A. 5.

B. \(\dfrac{{21}}{5}\).

C. 10.

D. \(\dfrac{{21}}{{25}}\).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:707689

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \({I_0}\) và \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow {I_0}\left( {1; - 1;2} \right),R = 3\).

Suy ra \({I_0}M = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\).

Vì \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp nên \(I \in {I_0}M\).

Ta có \({R^2} = {I_0}{A^2} = {I_0}I \cdot {I_0}M \Leftrightarrow 9 = {I_0}I \cdot 5 \Leftrightarrow {I_0}I = \dfrac{9}{5}\).

Do đó \(\overrightarrow {{I_0}I} = \dfrac{{{I_0}I}}{{{I_0}M}}\overrightarrow {{I_0}M} \Leftrightarrow \overrightarrow {{I_0}I} = \dfrac{9}{{25}}\overrightarrow {{I_0}M} \)

Từ giả thiết, ta có:

\(\overrightarrow {{I_0}I} = \left( {a - 1;b + 1;c - 2} \right),\overrightarrow {{I_0}M} = \left( {0;4; - 3} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 1 = 0}\\{b + 1 = \dfrac{{36}}{{25}}}\\{c - 2 = - \dfrac{{27}}{{25}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \dfrac{{11}}{{25}}}\\{c = \dfrac{{23}}{{25}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(a + b + 3c = 1 + \dfrac{{11}}{{25}} + \dfrac{{69}}{{25}} = \dfrac{{21}}{5}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.