Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), hình chiếu của

Câu hỏi số 707690:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), hình chiếu của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). Biết mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{8}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707690

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(E,F\) lần lượt là giao điểm của \(A'B \cap AB'\) và \(A'C \cap AC'\)

\( \Rightarrow EF = \left( {A'BC} \right) \cap \left( {AB'C'} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), dễ thấy \(BC \bot \left( {A'AM} \right)\), mà \(EF\parallel BC\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'M \bot EF}\\{\left( {A'BC} \right) \bot \left( {AB'C'} \right)}\end{array} \Rightarrow A'M \bot \left( {AB'C'} \right)} \right.\), gọi \(K = A'M \cap EF \Rightarrow K\) là trung điểm \(EF,A'M\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot A'M}\\{AK \bot BC}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {A'BC} \right)} \right.\), mà \(AK\) là trung tuyến của .

\( \Rightarrow \Delta A'AM\) cân tại \(A\) nên \(AA' = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét \(\Delta A'AG\) vuông tại \(G\) có: \(A'G = \sqrt {A{A^{{\rm{'}}2}} - A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCA'B'C'}} = A'G.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{8}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.