Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$ , hình chiếu của

Câu hỏi số 707690:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$ , hình chiếu của điểm $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ . Biết mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}$ .

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}$ .

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{8}$ .

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{8}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707690

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $A'B \cap AB'$ và $A'C \cap AC'$

$\Rightarrow EF = \left( {A'BC} \right) \cap \left( {AB'C'} \right)$ , gọi $M$ là trung điểm $BC$ , dễ thấy $BC \bot \left( {A'AM} \right)$ , mà $EF\parallel BC$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'M \bot EF}\\{\left( {A'BC} \right) \bot \left( {AB'C'} \right)}\end{array} \Rightarrow A'M \bot \left( {AB'C'} \right)} \right.$ , gọi $K = A'M \cap EF \Rightarrow K$ là trung điểm $EF,A'M$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot A'M}\\{AK \bot BC}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {A'BC} \right)} \right.$ , mà $AK$ là trung tuyến của .

$\Rightarrow \Delta A'AM$ cân tại $A$ nên $AA' = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét $\Delta A'AG$ vuông tại $G$ có: $A'G = \sqrt {A{A^{{\rm{'}}2}} - A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}$

${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

$\Rightarrow {V_{ABCA'B'C'}} = A'G.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{8}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.