Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z + 2 = 0$ và hai điểm \(A\left( {3;4;1}

Câu hỏi số 707691:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z + 2 = 0$ và hai điểm $A\left( {3;4;1} \right)$ , $B\left( {7; - 4; - 3} \right)$ . Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất. Biết $a > 2$ , độ dài đoạn $OM$ bằng

\sqrt{26}

$\sqrt {26}$ .

\sqrt{29}

$\sqrt {29}$ .

2 \sqrt{6}

$2\sqrt 6$ .

3 \sqrt{6}

$3\sqrt 6$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707691

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow E\left( {5;0; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 8; - 4} \right) = 4\left( {1; - 2; - 1} \right)$ , ta thấy $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow AB\parallel \left( P \right)$

$AB = 4\sqrt 6 ,ME = \dfrac{1}{2}AB = 2\sqrt 6$ .

Vậy $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $E\left( {5;0; - 1} \right)$ bán kính $R = EM = 2\sqrt 6$ , đồng thời $M \in \left( P \right)$ nên quỹ tích điểm $M$ chạy trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $r$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB{\rm{\;}}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB \cdot MH = 2\sqrt 6$ . $MH$

Để ${S_{ABM}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M{H_{{\rm{min\;}}}}$

Gọi $F$ là hình chiếu của $E$ lên ${M_1}{M_2} \Rightarrow F$ là tâm đường tròn giao tuyến bán kính $r$ , $EF \bot \left( P \right)$ tại $F \Rightarrow F\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}} \right)$

Ta có $MH \ge d\left( {AB,\left( P \right)} \right) = EF \Rightarrow MH \ge EF = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$ ,

Dấu bằng xảy ra đường $MF$ cắt đường tròn giao tuyến và $MF\parallel AB$

$\Rightarrow r = FM = \sqrt {{R^2} - E{F^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 6 )}^2} - {{\left( {\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$
$\Rightarrow FM = \dfrac{1}{3}IA \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {FM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {EA} = \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {FM} = - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {EA} = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)}\end{array} \Rightarrow M\left( {3; - 4;1} \right)\left( {} \right.} \right.$ do $\left. {{x_M} > 0} \right)$

$OM = \sqrt {26}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.