Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {3;4;1}

Câu hỏi số 707691:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {3;4;1} \right)\), \(B\left( {7; - 4; - 3} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) và có diện tích nhỏ nhất. Biết \(a > 2\), độ dài đoạn \(OM\) bằng

A. \(\sqrt {26} \).

B. \(\sqrt {29} \).

C. \(2\sqrt 6 \).

D. \(3\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707691

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm \(AB \Rightarrow E\left( {5;0; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 8; - 4} \right) = 4\left( {1; - 2; - 1} \right)\), ta thấy \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow AB\parallel \left( P \right)\)

\(AB = 4\sqrt 6 ,ME = \dfrac{1}{2}AB = 2\sqrt 6 \).

Vậy \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(E\left( {5;0; - 1} \right)\) bán kính \(R = EM = 2\sqrt 6 \), đồng thời \(M \in \left( P \right)\) nên quỹ tích điểm \(M\) chạy trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(r\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB{\rm{\;}}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB \cdot MH = 2\sqrt 6 \). \(MH\)

Để \({S_{ABM}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M{H_{{\rm{min\;}}}}\)

Gọi \(F\) là hình chiếu của \(E\) lên \({M_1}{M_2} \Rightarrow F\) là tâm đường tròn giao tuyến bán kính \(r\), \(EF \bot \left( P \right)\) tại \(F \Rightarrow F\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\)

Ta có \(MH \ge d\left( {AB,\left( P \right)} \right) = EF \Rightarrow MH \ge EF = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\),

Dấu bằng xảy ra đường \(MF\) cắt đường tròn giao tuyến và \(MF\parallel AB\)

\( \Rightarrow r = FM = \sqrt {{R^2} - E{F^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 6 )}^2} - {{\left( {\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow FM = \dfrac{1}{3}IA \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {FM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {EA} = \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)}\\{\overrightarrow {FM} = - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {EA} = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)}\end{array} \Rightarrow M\left( {3; - 4;1} \right)\left( {} \right.} \right.\) do \(\left. {{x_M} > 0} \right)\)

\(OM = \sqrt {26} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.