Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn

Câu hỏi số 714769:

Vận dụng

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

a) \({\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} - \sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} + \sin \alpha } \right)^2}\)

b) \(\dfrac{{{{(c{\rm{os}}\alpha {\rm{\;}} - \sin \alpha )}^2} - {{(c{\rm{os}}\alpha {\rm{\;}} + \sin \alpha )}^2}}}{{c{\rm{os}}\alpha .\sin \alpha }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:714769

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha {\rm{\;}} + {\cos ^2}\alpha {\rm{\;}} = 1\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) \({\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\)

\( = {\cos ^2}\alpha {\rm{\;}} - 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha {\rm{\;}} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha {\rm{\;}} + {\cos ^2}\alpha {\rm{\;}} + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha {\rm{\;}} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \)

\( = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha {\rm{\;}} + 2{\cos ^2}\alpha {\rm{\;}} = 2\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha {\rm{\;}} + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2.1 = 2.\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

b. \(\dfrac{{{{\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha {\rm{\;}} + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\)

\( = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha {\rm{\;}} - 2\sin \alpha .\cos \alpha {\rm{\;}} + {{\sin }^2}\alpha {\rm{\;}} - {{\cos }^2}\alpha {\rm{\;}} - 2\sin \alpha \cos \alpha {\rm{\;}} - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\)

\( = \dfrac{{ - 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = {\rm{\;}} - 4\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.