Chứng minh các biểu thức sau:a) \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)b) \(1 + {\cot ^2}x =

Câu hỏi số 714770:

Vận dụng

Chứng minh các biểu thức sau:

a) \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

b) \(1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

c) \({\cos ^4}x - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x = 2{\cos ^2}x - 1\)

d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

Xem lời giải

Câu hỏi:714770

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}\alpha {\rm{\;}} + {{\cos }^2}\alpha {\rm{\;}} = 1}\\{\tan \alpha {\rm{\;}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}\\{\cot \alpha {\rm{\;}} = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}\end{array}} \right..\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(VT = 1 + {\tan ^2}x\)\( = 1 + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = VP\)(đpcm)

b) \(1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(VT = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)\( = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (đpcm)

c) \({\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x - 1\)

\(VT = {\cos ^4}x - {\sin ^4}x\)

\( = \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x{\rm{\; + \;}}{{\sin }^2}x} \right)\)

\( = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

\( = {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\)

\( = 2{\cos ^2}x - 1\) (đpcm)

d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\(VT = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)

\( = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\)

\( = \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\( = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\) (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.