Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại

Câu hỏi số 717884:

Vận dụng

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm \(A\) biết \(R > r > 0.\) Tiếp tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn đó cắt đường nối tâm OO' tại \(M\), trong đó \(B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)\) và \(BC = CM = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\). Tính tổng \(R + r\).

Xem lời giải

Câu hỏi:717884

Phương pháp giải

Vận dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của đường trung bình trong tam giác.

Phát hiện mối quan hệ giữa \(R\) và \(r\) , từ đó biểu diễn \(r\) theo \(R\)

Áp dụng định lý Pythagore, tính được \(R\) và \(r\) .

Giải chi tiết

Ta có: B,C,M thẳng hàng mà \(BC = CM = 4cm\)

\( \Rightarrow C\) là trung điểm của BM

BC là tiếp tuyến chung của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) nên \(OB//O'C\)

\(\Delta OBM\) có: \(C\) là trung điểm của BM và \(OB//O'C\)

\( \Rightarrow O'C\) là đường trung bình của \(\Delta OBM\) (dhnb đường trung bình trong tam giác)

\( \Rightarrow O'C = \dfrac{1}{2}OB\) hay \(r = \dfrac{1}{2}R\)

Và O' là trung điểm của OM \( \Rightarrow OM = 2OO'\)

Vì \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(A\) nên \(OO' = OA + AO' = R + r\)

Do đó \(OM = 2\left( {R + r} \right) = 2\left( {R + \dfrac{1}{2}R} \right) = 2.\dfrac{3}{2}R = 3R\)

\(\Delta OBM\) vuông tại \(B\) , theo định lý Pythagore, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{O{B^2} + B{M^2} = O{M^2}}\\{{R^2} + {8^2} = {{\left( {3R} \right)}^2}}\\{9{R^2} - {R^2} = 64}\\{8{R^2} = 64}\\{{R^2} = 8}\\{ \Rightarrow R = 2\sqrt 2 \left( {cm} \right)}\end{array}\)

Khi đó, \(r = \dfrac{1}{2}R = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 2 {\rm{ \;}} = \sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Vậy \(R + r = 2\sqrt 2 {\rm{ \;}} + \sqrt 2 {\rm{ \;}} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.